Resolución de límites

Resolución general

  • En principio un límite se calcula sustituyendo la \(x\) por el número al que tiende el límiteEjemplo:

\[\lim_{x\to 3}x^2=3^2=9.\]

  • Es posible que el límite valga infinitoEjemplo:

\[\lim_{x\to 3}\frac1{x-3}=\frac10=\infty.\]

  • En la mayoría de los ejercicios al sustituir el valor, se obtiene una operación que no podemos calcular, como por ejemplo \(\frac\infty\infty\), \(\frac00\), \(1^\infty\), etc. A esto se le conoce como indeterminación, ver indeterminaciones. Aún cuando hay indeterminaciones, el límite se sigue pudiendo calcular según el tipo de indeterminación

Resolución de indeterminaciones

Indeterminaciones tipo \(\boxed{\frac\infty\infty}\) ó \(\boxed{\frac00}\)

Este tipo de indeterminación puede casi siempre resolverse usando la Regla de L`Hôpital. Para los ejercicios en los que no se puede, o aquellos en los que se prohíbe el uso de esta regla:

  • Si tanto en el numerador como en el denominador hay polinomios, y \(x\to \infty\) se divide arriba y abajo por la mayor potenciaEjemplo:

\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x+3}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac1x+\frac1{x^2}}=\infty\]

  • Si tanto en el enumerador como en el denominador hay polinomios, y \(x\to a\) se factoriza arriba y abajo y se simplifica, ver cómo factorizar polinomiosEjemplo:

    \[\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x-1}{x+2}=\frac14\]

  • Si en el denominador aparece una raíz, se multiplica por el conjugado arriba y abajo y luego se continúaEjemplo:

\[\lim_{x\to 0}\frac{x}{2-\sqrt{x^2+4}}=\lim_{x\to 0}\frac{x(2+\sqrt{x^2+4})}{(2-\sqrt{x^2+4})(2+\sqrt{x^2+4})}=\lim_{x\to 0}\frac{x(2+\sqrt{x^2+4})}{4-x^2-4}=\lim_{x\to 0}\frac{2+\sqrt{x^2+4}}{-x}=\frac40=\infty\]

Indeterminaciones tipo \(\boxed{\infty-\infty}\)

  • Si la indeterminación se obtiene cuando \(x\to\infty\), se compara el orden de ambos infinitos (comparando las potencias)Ejemplo: \(\lim_{x\to\infty}x^7-x^3-x^8=-\infty\)
  • Si se obtiene cuando \(x\to\)número, se opera primeroEjemplo:

    \[\lim_{x\to 1}\frac{x}{x^2-2x+1}-\frac{x}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{x^2-x-x^2-x}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{-2}{0}=\infty\]

Indeterminaciones tipo \(\boxed{0\cdot\infty}\)

Se opera para transformarla en una indeterminación tipo \(\frac\infty\infty\) ó \(\frac00\) que ya se sabe resolver

Ejemplo: \(\lim_{x\to\infty}\frac 1{x^2+1}\cdot x^3=\lim_{x\to\infty}\frac {x^3}{x^2+1}\).

Indeterminaciones tipo potencias \(\boxed{f(x)^{g(x)}}\), es decir \(1^\infty\), \(0^0\) ó \(\infty^0\)

  1. En primer lugar, se realiza la siguiente transformación \(e^{\lim_{x \to c} g(x)(\ln f(x))} \)
  2. Ahora en el límite hay una indeterminación de tipo, \(0 \cdot\infty\), que se puede transformar en una de \(\frac\infty\infty\) y aplicar los métodos anterioresEjemplo:

\[\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{2x}^{\frac1{x-2}}=e^{\lim_{x\to 2}\ln(\frac{x+2}{2x}){\frac1{x-2}}}=e^{\lim_{x\to 2}{\frac{\ln(\frac{x+2}{2x})}{x-2}}}\]


usando l'Hôpital

\[=e^{\lim_{x\to 2}\frac1{x+2}\frac{-4}{2x}}=e^{-\frac14}\]

Ver Propiedades de los límites o Regla de L`Hôpital

 

Ver ejercicios de Límites