Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
En un edificio inteligente de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad \(0,4\), de molinos eólicos con probabilidad \(0,26\) y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad \(0,12\). Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:
a) por alguna de las dos instalaciones,
b) sólamente por una de las dos
a) Primeramente se definen las variables a utilizar y los datos obtenidos del enunciado:
\(A\equiv\) La energía es suministrada por placas solares, \(P(A)=0,4\)
\(B\equiv\) La energía es suministrada por molinos eólicos, \(P(B)=0,26\)
\(A\cap B\equiv\) La energía es suministrada por placas solares y por molinos eólicos, \(P(A\cap B)=0,12\)
a) La probabilidad pedida será la probabilidad de que la energía sea suministrada por las placas solares más la probabilidad de que sea suministrada por molinos eólicos, ver la teoría de la probabilidad
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,4+0,26-0,12=\bbox[yellow]{0,54}\)
b) La probabilidad será
\(P((A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B))=P(A\cap\bar{B})+P(\bar{A}\cap B)=P(A)-P(A\cap B)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(\Rightarrow P((A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B))=P(A\cup B)-P(A\cap B)=\bbox[yellow]{0,42}\)
Ejercicio : (Junio 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
En un cierto punto de una autopista está situado un radar que controla la velocidad de los vehículos que pasan por dicho punto. La probabilidad de que el vehículo que pase por el radar sea un coche es \(0,5\), de que sea un camión es \(0,3\) y de que sea una motocicleta es \(0,2\). La probabilidad de que cada uno de los tres tipos de vehículos supere al pasar por el radar la velocidad máxima permitida es \(0,06\) para un coche, \(0,02\) para un camión y \(0,12\) para una motocicleta. En un momento dado, un vehículo pasa por el radar
a) Calcúlese la probabilidad de que este vehículo supere la velocidad máxima permitida
b) Si un vehículo en cuestión ha superado la velocidad máxima permitida, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una motocicleta?
Primeramente se definen las variables a utilizar y los datos:
\(A\equiv\) Por el radar pasa un coche; \(P(A)=0,5\)
\(B\equiv\) Por el radar pasa un coche; \(P(B)=0,3\)
\(C\equiv\) Por el radar pasa un coche; \(P(C)=0,2\)
\(S\equiv\) El vehículo que pasa por el radar supera la velocidad máxima permitida
\(P(S|A)=0,06\) Probabilidad de superar la velocidad máxima si es un coche
\(P(S|B)=0,02\) Probabilidad de superar la velocidad máxima si es un camión
\(P(S|C)=0,12\) Probabilidad de superar la velocidad máxima si es una motocicleta
a) Los vehículos que superan la velocidad máxima pueden ser coches, camiones o motocicletas, por lo tanto, teniendo en cuenta la teoría de la probabilidad, se tiene
\(P(S)=P((A\cap S)\cup (B\cap S)\cup (C\cap S))=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)=0,5.0,006+0,3.0,02+0,2.0,12=\bbox[yellow]{0,06}\)
b) La probabilidad pedida será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,
\(P(C|S)=\frac{P(C\cap S)}{P(S)}=\frac{P(C).P(S|C)}{P(S)}=\frac{0,2.0,12}{0,06}=\bbox[yellow]{0,4}\)