Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. La clase turista ocupa las dos terceras partes del pasaje y la clase preferente, el resto. Se sabe que todos los pasajeros que viajan en la base preferente saben hablar inglés y que el \(40\)% de los pasajeros que viajan en clase turista no saben hablar inglés. Se elige un pasajero del avión al azar
a) Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido sepa hablar inglés
b) Si se observa que el pasajero elegido sabe hablar inglés, ¿cuál es la probabilidad de que viaje en la clase turista?
a) Para resolver el problema se definen las variables a utilizar:
\(T\equiv\) El pasajero viaja en clase turista
\(P\equiv\) El pasajero viaja en clase preferente
\(I\equiv\) El pasajero sabe hablar inglés
Los datos que da el enunciado son los siguientes
\(P(T)=\frac 23\)
\(P(P)=\frac 13\)
\(P(I|P)=1\)
\(P(\bar{I}|T)=0,40\)
Hay que tener en cuenta también que saber inglés viajando en clase turista \((I|T)\) y no saber inglés si viaja en turista \((\bar{I}|T)\) son complementarios, \(P(I|T)=1-P(\bar{I}|T)=1-0,40=0,60\)
b) La probabilidad de que sepa inglés será la probabilidad de que sepa inglés viajando en clase turista más la probabilidad de que lo sepa viajando en clase preferente, ver la teoría de la probabilidad
\(P(I)=P((T\cap I)\cup (P\cap I))=P(T\cap I)+P(P\cap I)=P(T)P(I|T)+P(P)P(I|P)\)
Luego, \(P(I)=\frac 23.0,60+\frac 13.1=\frac{11}{15}=\bbox[yellow]{0,7333}\)
c) Suponiendo que el cliente habla inglés, la probabilidad de que viaje en clase turista será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,
\(P(T|I)=\frac{P(T\cap I)}{P(I)}=\frac{P(T).P(I|T)}{P(I)}=\frac{\frac 23.0,6}{\frac{11}{15}}=\bbox[yellow]{0,5455}\)
Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Una caja de caramelos contiene \(7\) caramelos de menta y \(10\) de fresa. Se extrae al azar un caramelo y se sustituye por dos del otro sabor. A continuación se extrae un segundo caramelo. Hállase la probabilidad de que:
a) El segundo caramelo sea de fresa
b) El segundo caramelo sea del mismos abor que el primero
Para resolver el problema se definen las variables a utilizar:
\(M_i\equiv\) Extraer un caramelo de menta en la extracción i
\(F_i\equiv\) Extraer un caramelo de fresa en la extracción i
Los datos que da el enunciado son los siguientes
\(P(M_i)=\frac{7}{17}\)
\(P(F_i)=\frac{10}{17}\)
\(P(M_2|M_1)=\frac{6}{18}=\frac 13\)
\(P(F_2|M_1)=\frac{12}{18}=\frac 23\)
\(P(M_2|F_1)=\frac{9}{18}=\frac 12\)
\(P(F_2|F_1)=\frac{9}{18}=\frac 12\)
a) La probabilidad de que el segundo caramelo sea de fresa (\(F_2\)), será la probabilidad de que el segundo caramelo sea de fresa habiendo sido el primero de menta más la probabilidad de que sea de fresa el segundo habiéndose extraído primeramente otro de fresa, ver la teoría de la probabilidad
\(P(F_2)=P((M_1\cap F_2)\cup (F_1\cap F_2))=P(M_1\cap F_2)+P(F_1\cap F_2)=P(M_1)P(F_2|M_1)+P(F_1)P(F_2|F_1)\)
Luego, \(P(F_2)=\frac{7}{17}\frac 23+\frac{10}{17}\frac 12=\bbox[yellow]{\frac{29}{51}}\)
b) La probabilidad de que el segundo caramelo sea del mismo sabor que el primero será la suma de las probabilidades de que el primero sea de menta y el segundo también y la de que ambos sean de fresa
\(P((M_1\cap M_2)\cup (F_1\cap F_2))=P(M_1\cap M_2)+P(F_1\cap F_2)=P(M_1)P(M_2|M_1)+P(F_1)P(F_2|F_1)\)
Luego, \(P((M_1\cap M_2)\cup (F_1\cap F_2))=\frac{7}{17}\frac 13+\frac{10}{17}\frac 12=\bbox[yellow]{\frac{22}{51}}\)