OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(k\):
\(\displaystyle\begin{cases}x+y+z=2&\\x+ky+2z=5& \\kx+y+z=1&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(k\)
b) Resuélvase el sistema para \(k=0\)
c) Resuélvase el sistema en el caso \(k=2\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1&k& 2\\ k&1& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &1&1&2\\ 1&k& 2&5\\ k&1& 1&1\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes y cómo resolver polinomios, se tiene \(|A|=k+2k+1-(k^2+1+2)=-k^2+3k-2\Rightarrow k=1\) y \(k=2\)
– Si \(k\neq 1,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }k\neq 1,2}\)
– Si \(k=1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 1& 2\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el menor tres por tres siguiente
\(\begin{array}{|crl|}1 &1&2\\ 1& 2&5\\ 2& 1&1\end{array}=-1\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=1,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(k=2\), \(|A|=0\). Encontrando además como en el caso anterior, el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 1& 2\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(k=0\), el sistema es compatible determinado (con \(|A|=-k^2+3k-2=-2\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2 & 1 & 1 \\5 & 0 & 2\\1 & 1 &1\end{array}=-2\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & 1 \\1 & 5 & 2\\0 & 1 &1\end{array}=2\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 2 \\1 & 0 & 5\\0 & 1 &1\end{array}=-4\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(1,-1,2)}\)
c) Para \(k=2\) se tiene que el sistema es compatible determinado: \(\displaystyle\begin{cases}x+y+z=&2\\x+2y+2z=&5 \\2x+y+z=&1\\\end{cases}\)
Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables (z=\lambda) para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x+y=&2-\lambda\\ x+2y=&5-2\lambda\\\end{cases}\)
El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(\begin{array}{|crl|}1 & 1 \\1 & 2\end{array}=1\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2-\lambda & 1\\5-2\lambda & 2\end{array}=-1\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2-\lambda\\1 & 5-2\lambda\end{array}=3-\lambda\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\lambda)=\bbox[yellow]{(-1,3-\lambda, \lambda)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}ax+b&x\leq 1\\ x^3-x^2+1&x>1\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Calcúlense los valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable
b) (1 pto) Para \(a=0\) y \(b=1\), hállase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en los puntos en los que dicha tangente es paralela a la recta \(y-8x=1\)
c) (1 pto) Sea \(g\) la función real de variable real definida por \(g(x)=1-2x^2\). Para \(a=1\) y \(b=0\), calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de \(f\) y la gráfica de \(g\)
a) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=1\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x^3-x^2+1)=1\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}(ax+b)=a.1+b=a+b=f(1)\)
Luego, para que la función sea continua en \(1\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(a+b=1\)
Para que la función sea derivable tiene que cumplirse que \(f'(1^{-})=f'(1^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}a&x\leq 1\\ 3x^2-2x&x>1\\\end{cases}\)
Evaluando \(f'(1^{-})=f'(1^{+})\), se tiene que \(a=3.1^2-2.1\Rightarrow a=1\), luego, para que la función sea continua y derivable en todos los reales \(a+b=1,a=1\Rightarrow\bbox[yellow]{ a=1,b=0 }\)
b) Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y como la recta dada \(y=8x+1\) tiene pendiente \(8\), la ecuación de la recta tangente pedida también la tendrá, es decir, hay que buscar un punto en el cual la derivada de la función valga \(8\), ver ecuaciones de la recta
\(8=f'(x)=\displaystyle\begin{cases}1&x\leq 1\\ 3x^2-2x&x>1\\\end{cases}\Rightarrow 3x^2-2x=0\Rightarrow x=2\) y \(x=-\frac 43\)
El último valor, \(x=-\frac 43\), no está en el intervalo correspondiente al polinomio \(3x^2-2x\), por lo tanto, hay que quedarse sólamente con la solución \(x=2\)
La ecuación de la recta tangente en \(x=2\) viene dada por, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(2)=f'(2)(x-2)\), con \(m\) la pendiente, en este caso es \(8\) y \(f(2)=2^3-2^2+1=5\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-5=8(x-2)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=8x-11}\)
c) Para hallar el área pedida primero hay que calcular los límites de integración, consultar cómo se calcula una integral definida
Dichos límites serán las soluciones del sistema de ecuaciones siguiente, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones,
\(\displaystyle\begin{cases}\begin{cases}x&x\leq 1\\ x^3-x^2+1&x>1&\end{cases}\\g(x)=1-2x^2&\\\end{cases}\Rightarrow x=-1\) y \(x=\frac 12\)
Por lo tanto,
\(\displaystyle A=\int_{-1}^{\frac 12}(g(x)-f(x))dx=\int_{-1}^{\frac 12}(1-2x^2-x)dx=\int_{-1}^{\frac 12}(1-x-2x^2)dx=x-\frac{x^2}{2}-\frac{2x^3}{3}\Big]_{-1}^{\frac 12}=(\frac 12-\frac 18-\frac{1}{12})-(-1-\frac 12+\frac 23)=\bbox[yellow]{\frac 98}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Se consideran dos sucesos \(A\) y \(B\) tales que:
\(P(A)=\frac 13\qquad\)\(\qquad P(B|A)=\frac 14\qquad\)\(\qquad P(A\cup B)=\frac 12\qquad\)
Calcúlense razonadamente:
a) \(P(A\cap B)\)
b) \(P(B)\)
c) \(P(\bar{B}|A)\)
d) \(P(\bar{A}|\bar{B})\)
a) Teniendo en cuenta el Teorema de la probabilidad total, ver la teoría de la probabilidad, se tiene
\(P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\frac 13.\frac 14=\bbox[yellow]{\frac{1}{12}}\)
b) Sabiendo \(P(A)\) y \(P(A\cap B)\), se puede despejar el dato pedido,
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(A)=\frac 12+\frac{1}{12}-\frac 13=\bbox[yellow]{\frac 14}\)
c) Aplicando el Teorema de Bayes, ver probabilidad condicionada y teniendo en cuenta que \(\bar{B}\cap A=A-(B\cap A)\), se obtiene
\(P(\bar{B}|A)=\frac{P(\bar{B}\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A)-P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac 13-\frac{1}{12}}{\frac 13}=\bbox[yellow]{\frac 34}\)
d) Utilizando nuevamente el Teorema de Bayes y la leyes de Morgan, se tiene
\(P(\bar{A}|\bar{B})=\frac{P(\bar{B}\cap \bar{A})}{P(\bar{B})}=\frac{P(\bar{A\cup B})}{1-P(B)}=\frac{1-P(A\cup B)}{1-P(B)}=\frac{1-\frac 12}{1-\frac 14}=\bbox[yellow]{\frac 23}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) El tiempo de espera para ser atendido en cirto establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica igual a \(3\) minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(121\)
a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y \(\mu\) sea mayor que \(0,5\) minutos
b) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(95\)% para \(\mu\), si la media de la muestra es igual a \(7\) minutos
a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable que mide el tiempo de espera, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística
Para muestras de tamaño \(121\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{121}})\)
El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)\)
Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 0,5)=1-P(-0,5<\bar{x}-\mu< 0,5)=1-P(\mu-0,5<\bar{x}< \mu +0,5)\)
Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)
De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{121}}}\) y
\(1-P(\mu-0,5<\bar{x}< \mu +0,5)=1-P(\frac{\mu-0,5-\mu}{\frac{3}{11}}<z<\frac{\mu+0,5-\mu}{\frac{3}{11}})=1-P(-1,83<z<1,83)=1-(P(z<1,83)-P(z\leq -1,83))=1-(P(z<1,83)-P(z\geq 1,83))=1-(P(z<1,83)-(1-P(z< 1,83))\)
Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)=0,0672}\)
b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(7-1,95\frac{3}{\sqrt{121}},7+1,95\frac{3}{\sqrt{121}})=\bbox[yellow]{(6,47, 7,53)}\)