Ejercicios de Vectores I

Ejercicio 1: Hallar todos los vectores perpendiculares a \(\vec{u}=(-1,2)\) con módulo \(10\)

Sea \(\vec{v}=(x,y)\) el vector perpendicular a \(\vec{u}=(-1,2)\) buscado

De manera que su producto escalar será cero, es decir, \(\displaystyle\vec{u}.\vec{v}=0\), ver vectores perpendiculares,

\(\displaystyle\vec{u}.\vec{v}=(-1,2)(x,y)=-x+2y=0\Rightarrow x=2,\quad y=1\)

Es decir, \(\vec{v_1}=(2,1)\). Otra posible solución sería \(\vec{v_2}=(2,-1)\)

Para que estos vectores tengan módulo \(10\), ver módulo de un vector, primero se expresan con módulo \(1\), es decir

\(\displaystyle\vec{v'}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)

Sabiendo que \(|\vec{v_1}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}=|\vec{v_2}|\), quedaría

\(\displaystyle\vec{v_1'}=\frac{\vec{v_1}}{|\vec{v_1}|}=\frac{(2,1)}{\sqrt{5}}=(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})\)

y

\(\displaystyle\vec{v_2'}=\frac{\vec{v_2}}{|\vec{v_2}|}=\frac{(2,-1)}{\sqrt{5}}=(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{-1}{\sqrt{5}})\)

Para que estos vectores tengan módulo \(10\):

\(\displaystyle\vec{w_1}=10\vec{v_1'}=10(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})\)

y

\(\displaystyle\vec{w_2}=10\vec{v_2'}=10(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{-1}{\sqrt{5}})\)

Siendo el resultado final:

\(\displaystyle\boxed{(\dfrac{20}{\sqrt{5}},\dfrac{10}{\sqrt{5}})\qquad\hbox{y}\qquad(\dfrac{20}{\sqrt{5}},\dfrac{-10}{\sqrt{5}})}\)

Nota: En la resolución de este ejercicio se han tomado soluciones enteras de \(-x+2y=0\), pero cualquier par \((x,y)\) que solucione la ecuación anterior será perpendicular al vector \((-1,2)\)

 

Ejercicio 2: Dados los puntos \(A(1,0)\), \(B(2,3)\) y \(C(0,3)\):

1. Hallar el punto \(D\) tal que estos cuatro puntos formen un paralelogramo. Encontrar el centro

2. Calcular los ángulos y la longitud de los lados de dicho paralelogramo

3. Encontrar todos los vectores perpendiculares al vector \(\vec{AB}\) que tengan módulo \(4\)

1. Como los lados de un paralelogramo son paralelos dos a dos, ver geometría de un paralelogramo, para calcular el cuarto punto, se halla el vector entre dos de los puntos (consecutivos) y se le suma el tercer punto dado, ver cómo calcular un vector con dos puntos dados

En este caso,

\(\displaystyle\vec{AB}=(2,3)-(1,0)=(1,3)\)

y \(\displaystyle\vec{AB}+C=(1,3)+(0,3)=(1,6)\)

De forma que el paralelogramo se formará con los vectores \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{BD}\) y \(\vec{CD}\) y el punto pedido será \(\displaystyle\boxed{D=(1,6)}\)

El punto medio será el punto intermedio entre dos de los vértices del paralelogramo que no están unidos entre sí formando un lado, es decir, el punto medio, \(M\), del paralelogramo puede calcularse hallando el punto medio entre los vértices \(C\) y \(B\) ó entre \(A\) y \(D\), ver cómo calcular el punto medio entre dos puntos

De forma que \(\displaystyle M(A,D)=M(\frac{1+1}{2}, \frac{0+6}{2})=(\frac{2}{2}, \frac{6}{2})\)

Así que el punto medio del paralelogramo será \(\displaystyle\boxed{M(1,3)}\)

2. Como los lados son paralelos dos a dos, es necesario calcular sólamente la longitud de dos de ellos, ver cómo se calcula la longitud de un lado

En este caso

\(\displaystyle |\vec{AB}|=\sqrt{(2-1)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\)

y

\(\displaystyle |\vec{AC}|=\sqrt{(0-1)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\)

De forma que la longitud de todos sus lados será \(\displaystyle\boxed{\sqrt{10}}\)

Para calcular sus ángulos sólo es necesario calcular dos de ellos, en este caso se calcularán el ángulo formado en el vértice \(A\) y el del vértice \(B\)

Para calcular el ángulo formado en \(A\) es necesario hallar primeramente los vectores que salen de dicho vértice, \(\vec{AB}\) y \(\vec{AC}\), ver cómo calcular un vector con dos puntos,

\(\displaystyle\vec{AB}=(1,3)\) ya se ha calculado en el apartado anterior

\(\displaystyle\vec{AC}=(0,3)-(1,0)=(-1,3)\)

Para calcular el ángulo formado se utilizará la siguiente fórmula, ver cómo calcular ángulos entre vectores,

\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}\)

Primeramente se halla el producto \(\displaystyle\vec{AB}.\vec{AC}=1(-1)+3.3=-1+9=8\), ver cómo multiplicar vectores

Gracias al apartado anterior se sabe que \(\displaystyle |\vec{AB}|=\sqrt{10}=|\vec{AC}|\)

De manera que

\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{8}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{8}{10}\Rightarrow\alpha=36.86\)

Para calcular el ángulo formado por el vértice \(B\) se consideran los vectores \(\vec{BD}\) y \(\vec{BA}\),

\(\displaystyle\vec{BD}=(1,6)-(2,3)=(-1,3)\quad\) y \(\quad|\vec{BD}|=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}\)

y

\(\displaystyle\vec{BA}=(1,0)-(2,3)=(-1,-3)\quad\) y \(\quad|\vec{BA}|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}\)

De forma que \(\vec{BD}.\vec{BA}=(-1)^2+(-3)^2=-8\), quedando entonces

\(\displaystyle\cos\beta=\frac{-8}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=-0,8\Rightarrow\beta=143.13\)

Así que los ángulos del paralelogramo serán \(\displaystyle\boxed{\alpha=36.86,\quad\beta=143.13}\)

3. Sea \(\vec{u}=\vec{AB}=(1,3)\) y tal que \(|\vec{u}|=|\vec{AB}|=\sqrt{10}\)

Un vector que tenga la misma dirección y sentido que \(\vec{u}\) y con módulo uno, sería

\(\displaystyle\vec{u_1}=\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\frac{(1,3)}{\sqrt{10}}=(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}})\)

Para obtener un vector con estas características pero con módulo \(4\), se puede escribir

\(\displaystyle\vec{u_2}=4\vec{u_1}=4(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}})=(\frac{4}{\sqrt{10}},\frac{12}{\sqrt{10}})\)

De manera que para tener vectores \(\vec{v}\) de dichas características y que sean perpendiculares a \(\vec{AB}\) tiene que darse \(\vec{AB}.\vec{v}=0\)

Es decir, el resultado quedaría \(\displaystyle\boxed{(\dfrac{12}{\sqrt{10}},\dfrac{-4}{\sqrt{10}})\quad\hbox{y}\quad (\dfrac{-12}{\sqrt{10}},\dfrac{4}{\sqrt{10}})}\)

Ejercicio 3: Hallar dos vectores perpendiculares a \(\vec{u}=(5,9)\) con módulo \(7\)

Considerando \(\vec{v}=(x,y)\) el vector que se pide, perpendicular a \(\vec{u}=(5,9)\)

De manera que ele producto escalar entre el vector pedido y \(\vec{u}\) será cero, es decir, \(\displaystyle\vec{u}.\vec{v}=0\), ver vectores perpendiculares,

\(\displaystyle\vec{u}.\vec{v}=(5,9)(x,y)=5x+9y=0\Rightarrow x=-9,\quad y=5\)

Es decir, \(\vec{v_1}=(-9,5)\). Otra posible solución sería \(\vec{v_2}=(9,5)\)

Se tiene que \(|\vec{v_1}|=\sqrt{81+25}=\sqrt{106}=|\vec{v_2}|\), ver módulo de un vector

Para que estos vectores tengan módulo \(7\), ver módulo de un vector, primero se expresan con módulo \(1\), es decir

\(\displaystyle\vec{v'}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\), quedando en este caso

\(\displaystyle\vec{v_1'}=\frac{\vec{v_1}}{|\vec{v_1}|}=\frac{(-9,5)}{\sqrt{106}}=(\frac{-9}{\sqrt{106}},\frac{5}{\sqrt{106}})\)

y

\(\displaystyle\vec{v_2'}=\frac{\vec{v_2}}{|\vec{v_2}|}=\frac{(9,-5)}{\sqrt{106}}=(\frac{9}{\sqrt{106}},\frac{-5}{\sqrt{106}})\)

Por lo tanto, para que el módulo de estos vectores sea \(7\), basta con multiplicarlos por dicho número

\(\displaystyle\vec{w_1}=7\vec{v_1'}=7(\frac{-9}{\sqrt{106}},\frac{5}{\sqrt{106}})\)

y

\(\displaystyle\vec{w_2}=7\vec{v_2'}=7(\frac{9}{\sqrt{106}},\frac{-5}{\sqrt{106}})\)

Quedando el resultado final:

\(\displaystyle\boxed{(\dfrac{-63}{\sqrt{106}},\dfrac{35}{\sqrt{106}})\qquad\hbox{y}\qquad(\dfrac{63}{\sqrt{106}},\dfrac{-35}{\sqrt{106}})}\)

 

Ejercicio 4: Sean los puntos \(A(3,0)\), \(B(2,1)\) y \(C(6,7)\) vértices consecutivos de un paralelogramo:

1. Calcular el cuarto vértice \(D\) y el centro

2. Calcular el ángulo formado en el vértice \(B\)

3. Hallar los vectores perpendiculares a \(\vec{AB}\) que tengan módulo \(20\)

1. Sabiendo que los lados de un paralelogramo son paralelos dos a dos, ver geometría de un paralelogramo, para hallar \(D\) se calcula el vector entre dos de los puntos y se le suma el tercer punto dado, ver cómo calcular un vector con dos puntos dados

Es decir,

\(\displaystyle\vec{BC}=(6,7)-(2,1)=(4,6)\) y \(\displaystyle D=\vec{BC}+A=(4,6)+(3,0)=\boxed{(7,6)}\)

El centro del paralelogramo será el punto intermedio entre dos de los vértices que no están unidos entre sí formando un lado, es decir, el punto medio, ver cómo calcular el punto medio entre dos puntos

De forma que \(\displaystyle M(A,C)=M(\frac{3+6}{2}, \frac{0+7}{2})=\boxed{(\dfrac{9}{2}, \dfrac{7}{2})}\)

2. Para hallar el ángulo formado en \(B\) es necesario hallar primeramente los vectores que salen del vértice, \(\vec{BA}\) y \(\vec{BC}\), ver cómo calcular un vector con dos puntos,

\(\displaystyle\vec{BA}=(3,0)-(2,1)=(1,-1)\)

\(\displaystyle\vec{BC}=(4,6)\), calculado en el apartado 1

Para calcular el ángulo formado se utilizará la fórmula, ver cómo calcular ángulos entre vectores,

\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{|\vec{BA}||\vec{BC}|}\)

Primeramente se halla el producto \(\displaystyle\vec{BA}.\vec{BC}=4-6=-2\), ver cómo multiplicar vectores

Además, \(\displaystyle |\vec{BA}|=\sqrt{2}\) y \(\displaystyle |\vec{BC}|=\sqrt{52}\)

Es decir,

\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{-2}{\sqrt{2}\sqrt{52}}=-0,1961\Rightarrow\boxed{\alpha=101.30}\)

3. Sea \(\vec{u}=\vec{AB}=(-1,1)\)

Un vector perpendicular a \(\vec{u}\) que tenga la misma dirección y sentido y con módulo uno, puede escribirse como

\(\displaystyle\vec{u_1}=\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\)

y

\(\displaystyle\vec{u_2}=\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}}=(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}})\)

Para que ambos vectores tengan módulo \(20\) basta con multiplicar sus expresiones obtenidas por dicho escalar. Quedando el resultado como \(\displaystyle\boxed{(\dfrac{20}{\sqrt{2}},\dfrac{20}{\sqrt{2}})\quad\hbox{y}\quad (\dfrac{-20}{\sqrt{2}},\dfrac{-20}{\sqrt{2}})}\)

 

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