Ejercicios de Optimización I

Ejercicio 1: Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus catetos vale \(9\) m.

Suponiendo los catetos del triángulo \(x\) e \(y\) y sabiendo que el área de un triángulo viene dada por (ver la expresión para el área de un triángulo):

\(S=\displaystyle\frac{xy}{2}\)

Sabiendo también que la suma de las longitudes de sus catetos es \(9\) m, se tiene

\(x+y=9\)

Despejando uno de los catetos,

\(y=9-x\)

Si se incluye este despeje en la expresión del área del triángulo, se obtiene;
\(S(x)=\displaystyle\frac{x(9-x)}{2}=\frac{9x-x^2}{2}\)

La función \(S(x)\) será de la que se pide encontrar un máximo, por lo que se debe derivar e igualar a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas),

\(S'(x)=\displaystyle\frac{9-2x}{2}=0\)

Despejando la \(x\) queda \(x=\frac{9}{2}\)

Para comprobar si en este punto se alcanza un máximo o un mínimo, se evalúa en la segunda derivada (ver cómo calcular máximos y mínimos);

\(S''(x)=\displaystyle-x\quad\hbox{y}\quad S''(\frac{9}{2})<0\)

Así que en \(x=\frac 92\) se alcanza un máximo de la función \(S(x)\). El valor del otro cateto del triángulo con área máxima se calcula sustituyendo en el despeje del inicio,

\(y=9-x=9-\frac 92=\frac 92\)

De forma que el resultado final es:

\(\displaystyle\boxed{x=\frac 92,\;y=\frac 92\;y\;S=\frac{81}{8}u^2}\)

Ejercicio 2: Expresar el número \(20\) como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el triple del primero y el producto de los tres sea máximo

Del enunciado se obtienen las siguientes dos ecuaciones satisfechas por los tres números buscados, \(x,\;y,\;z\),

\(x+y+z=20,\quad y= 3x\)

siendo \(P(x,y,z)=xyz\) la función que se pide maximizar.

Despejando el tercer número pedido de la primera ecuación se tiene, \(z=20-4x\).

De forma que la función \(P(x,y,z)\) se puede escribir como

\(P(x)=x2x(20-4x)=40x^2-8x^3\)

Para calcular el máximo de dicha función, se deriva \(P(x)\) e iguala a cero, (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas)

\(P'(x)=80x-24x^2=x(80-24x)=0\)

Las soluciones de \(P'(x)=0\) son \(x=0\) y \(x=\frac{10}{3}\)

Para comprobar si en esos dos puntos se alcanza un máximo o un mínimo de la función, se calcula la segunda derivada y se evalúan en ella los puntos (ver cómo calcular máximos y mínimos);

\(P''(x)=-48x+80\) y \(P'(0)>0\), \(P'(x)<0\);

por lo que en \(x=0\) se alcanza un mínimo y en \(x=\frac{10}{3}\) un máximo. Ya que lo que se busca es un máximo, el punto pedido es \(x=\frac{10}{3}\).

Como el enunciado pide encontrar enteros positivos y \(x=\frac{10}{3}\) no lo es, se comparan los valores de los enteros positivos más cercanos a \(x=\frac{10}{3}\):

\(3<\frac{10}{3}<4\) y se escoge el que alcanza mayor valor en la función \(P(3)=144,\quad\hbox{y}\quad P(4)=128\) Como \(P(3)>P(4)\), el resultado es:

\(\boxed{x=3,\quad y=9\quad z=8\quad\hbox{y}\quad P(3)=144}\)

 

Ejercicio 3: Calcular las dimensiones de tres campos cuadrados (no contiguos) de modo que:
el perímetro de uno de ellos sea el triple del perímetro de otro, se necesiten exactamente \(1200\) metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible

Considerando \(x\) el lado del primer cuadrado, su perímetro será \(4x\) y su área \(x^2\)(ver el perímetro y el área de un cuadrado)

El lado del segundo cuadrado será \(3x\) ya que es el triple del primero, su área será \(9x^2\) y su perímetro será \(12x\)

El perímetro del tercer cuadrado no viene determinado por los otros dos, así que suponiendo que su lado tenga longitud \(y\), su perímetro será \(4y\) y su área \(y^2\)

La suma de los tres perímetros será

\(\displaystyle 4x+12x+4y=1200\)

Despejando \(y\) de la anterior ecuación, se obtiene el valor de \(y\) en función de \(x\);

\(y=\displaystyle\frac{1200-16x}{4}=300-4x\)

El enunciado pide que la suma de las tres áreas sea mínima, de manera que la función a minimizar será

\(S(x)=\displaystyle x^2+9x^2+(300-4x)^2=26x^2-2400x+90000\)

Para calcular el mínimo de \(S(x)\), se deriva e iguala a cero la función (ver cómo calcular máximos y mínimos)

\(S'(x)=\displaystyle 52x-2400=0\)

De forma que despejando la \(x\), queda \(x=46,15\)

Para comprobar si se trata de un mínimo, se recurre al criterio de la segunda derivada (ver cómo calcular máximos y mínimos)

\(S''(x)=52>0\), luego hay un mínimo en \(x=46,15\)

De forma que, sustituyendo este valor se obtienen las dimensiones de los lados de los tres campos:

\(\boxed{46,15 m,\quad 138,45 m\quad\hbox{y}\quad 115,4 m}\)

 

Ejercicio 4: Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro \(4\) y área máxima

Sea \(x\) la base del triángulo, \(h\) la altura e \(y\) cada uno de los lados restantes. Entonces, el área \(S\) y el perímetro del triángulo vienen dados por (ver área y perímetro de un triángulo),

\(S=\displaystyle\frac{xh}{2},\quad x+2y=4\)

Para calcular la altura \(h\) del triángulo, se considera uno de los triángulos que quedan al dividir la figura inicial por su altura. De esta manera, el lado \(y\) del triángulo inicial será la hipotenusa del triángulo rectángulo que queda, \(h\) uno de los catetos y la base entre dos, \(\frac{x}{2}\) el otro cateto (ver altura de un triángulo isósceles).

Así,

\(h=\sqrt{y^2-\frac{x^2}{4}}\)

Sustituyendo \(h\) en la expresión del área, queda

\(S(x)=\displaystyle\frac{x\sqrt{y^2-\frac{x^2}{4}}}{2}=\frac{x\sqrt{4-2x}}{2}\)

Para calcular el máximo se deriva la expresión del área y se iguala a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos)

\(S''(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{4-2x}}{2}+\frac{x(-2)}{4\sqrt{4-2x}}=\frac{8-6x}{4\sqrt{4-2x}}=0\)

Es decir, \(x=\displaystyle\frac{8}{6}\)

Para comprobar si se trata de un punto de máximo se evalúa en la primera derivada (ver cómo calcular máximos y mínimos)

Si \(x<\frac 86,\;S'(x)>0\) y si \(x>\frac 86,\;S'(x)<0\), por tanto, en \(x=\frac{8}{6}\) y \(y=\frac{8}{6}\) hay un máximo.

El resultado final es:

\(\boxed{x=\displaystyle\frac{8}{6}\quad\hbox{y}\quad h=4\sqrt{3}}\)

 

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