Análisis en Selectividad (Ciencias) 2012

Ejercicio : (Junio 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)Hallar \(a\), \(b\) y \(c\) de modo que la función \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) alcance en \(x=1\) un máximo relativo de valor \(2\) y tenga en \(x=3\) un punto de inflexión

Los datos que da el enunciado son los siguientes \(f(1)=0, \quad f'(1)=0\quad\hbox{y}\quad f''(3)=0\)

Para calcular los máximos y mínimos de la función, se derivará y se igualará a cero su derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y también consultar la tabla de derivadas

En este caso, \(\quad f(x)=x^3+ax^2+bx+c\), \(\quad f'(x)=3x^2+2ax+b\quad\) y \(\quad f''(x)=6x+2a\)

Sustituyendo los datos dados en el enunciado se tiene el siguiente sistema

\(\displaystyle\begin{cases}1^3+a.1^2+b.1+c=2&\\ 3.1^2+2a.1+b=0&\\ 6.3+2a=0&\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a+b+c=1&\\ 2a+b=-3&\\ 2a=-18&\\\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}a=-9&\\ b=15&\\ c=-5&\\\end{cases}}\)

Ejercicio : (Junio 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas

a) (1 pto) \(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx\qquad\quad\) b) (1 pto) \(\displaystyle\int_0^{\frac{pi}{2}}\dfrac{\sin 2x}{1+\cos^2 2x}dx\)

a) La integral se resolverá por partes, recordar cómo resolver una integral por partes, siendo

\(u=e^{2x}\Rightarrow du=e^{2x}2dx\quad\) y \(\quad dv=\cos xdx\Rightarrow v=\sin x\),

De esta forma,

\(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx=e^{2x}\sin x\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x e^{2x}2dx \)

La integral obtenida no es inmediata, de forma que se vuelve a utilizar el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso,

\(u=e^{2x}\Rightarrow du=e^{2x}2dx\quad\) y \(\quad dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x\)

Por lo tanto,

\(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx=e^{2x}\sin x\Big]_0^{\pi}-\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x e^{2x}2dx=e^{2x}\sin x\Big]_0^{\pi}-2\Big(e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\displaystyle\int_0^{\pi}-\cos x e^{2x}2dx\Big)\)

Reagrupando términos se llega a la expresión siguiente

\(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx=e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-4\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx\)

De manera que se ha llegado a una integral del tipo iterativa, llamando \(I=\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx\), se tiene de la expresión anterior

\(I=e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-4I\)

Despejando \(I\), se tiene \(5I=e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}\Rightarrow I=\dfrac{e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}}{5}=\dfrac{e^{2\pi}}{5}(0+2.(-1))-\dfrac 15(0+2.1)=\boxed{-\dfrac 25(e^{2\pi}+1)}\)

b) Consultando la tabla de integrales y recordando cómo se resuelven integrales definidas, se tiene

\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin 2x}{1+\cos^2 2x}dx= -\dfrac 12\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{-2\sin 2x}{1+\cos^2 2x}dx=-\dfrac 12\arctan (\cos 2x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\dfrac 12\arctan (\cos \pi)+\dfrac 12\arctan (\cos 0)=-\dfrac 12(-\dfrac{\pi}{4})+\dfrac 12\dfrac{\pi}{4}=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}\)

Ejercicio : (Junio 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos)

Dadas las funciones

\(f(x)=\dfrac{3x+\ln (x+1)}{\sqrt{x^2-3}}\quad\) \(\quad g(x)=(\ln x)^{x}\quad\) \(\quad h(x)=\sin (\pi -x)\)

Se pide

a) (1 pto) Hallar el dominio de \(f(x)\) y el \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\)
b) (1 pto) Calcular \(g'(e)\)
c) (1 pto) Calcular, en el intervalo \((0,2\pi)\), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de \(h(x)\)

a) El dominio de la función serán todos los números que hagan que el polinomio de dentro de la raíz sea positivo y distinto de cero (ya que en este caso, la raíz está en el denominador), además, hay que considerar sólo los puntos que hacen que el la función \(\ln (x+1)\) tenga sentido, ver dominio de una función

En este caso, \(x+1>0\qquad\hbox{y}\qquad x^2-3>0\Rightarrow x>-1\qquad\hbox{y}\qquad x>\pm\sqrt{3}\)

Evaluando la función antes y después de los valores obtenidos se tiene que antes de \(-\sqrt{3}\), el denominador tendrá sentido (ya que es estrictamente positivo), y después del valor \(\sqrt{3}\) el argumento de la raíz es, de nuevo, estrictamente positivo. De manera que, uniendo estos datos con \(x>-1\) se obtiene el resultado

\(D=(-1,\infty)\cap\{(-\infty,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},\infty)\}=\boxed{(\sqrt{3},\infty)}\)

Por otra parte, \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x+\ln (x+1)}{\sqrt{x^2-3}}=\dfrac{\infty}{\infty}\)

Se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite (ver cómo resolver límites), se utiliza la Regla de L'Hôpital (ver la Regla de L'Hôpital y la tabla de derivadas),

\(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3+\dfrac{1}{x+1}}{\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-3}}}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3+\dfrac{1}{x+1}}{\sqrt{\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{x^2}}}}=\dfrac{3+0}{\sqrt{\dfrac{1}{1-0}}}=\boxed{3}\)

b) Primero se deriva \(g(x)\) y luego se evalúa en el valor pedido. Consultando la tabla de derivadas, se obtiene

\(g'(x)=(\ln x)^{x}(\ln (\ln x)+\dfrac{1}{\ln x})\)

Evaluando ahora la derivada en el punto pedido, se tiene \(g'(e)=(\ln e)^{e}(\ln (\ln e)+\dfrac{1}{\ln e})=1^{e}(\ln 1+\dfrac 11)=\boxed{1}\)

c) Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(h(x)=0\Rightarrow \sin (\pi -x)=0\Rightarrow x=\pi -\pi k\), para todo \(k\in\mathbb{Z}\)

Como está definida en el intervalo abierto \((0,2\pi)\), el único punto de cortes con el eje de abscisas es \(\boxed{(\pi,0)}\)

Por otra parte, como \(h(0)=0\), se obtiene el punto de corte, \((0,0+2\pi k)\), con \(k\in\mathbb{Z}\), pero como se pide en el intervalo abierto \((0,2\pi)\), la función no corta al eje \(OY\) en ese intervalo

Para calcular los extremos relativos se derivará la función y se igualará a cero, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función

En este caso, \(h'(x)=0\Rightarrow -\cos (\pi -x)=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}-\pi k\), para todo \(k\in\mathbb{Z}\)

Teniendo en cuenta el intervalo pedido, se tienen los puntos críticos: \(x=\dfrac{\pi}{2}\) y \(x=\dfrac{3\pi}{2}\)

Para saber si los valores obtenidos son máximos o mínimos se evaluarán en la segunda derivada,

\(h''(x)=-\sin (\pi -x)\Rightarrow h''(\dfrac{\pi}{2})=-\sin \dfrac{\pi}{2}=-1<0\Rightarrow\) en \(x=\dfrac{\pi}{2}\) hay un máximo \(h''(x)=-\sin (\pi -x)\Rightarrow h''(\dfrac{3\pi}{2})=-\sin \dfrac{-\pi}{2}=1>0\Rightarrow\) en \(x=\dfrac{3\pi}{2}\) hay un mínimo

De manera que, evaluando los valores críticos en la función \(h(x)\), el resultado sería \(\boxed{(\dfrac{\pi}{2},1), (\dfrac{3\pi}{2},-1)}\)

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