Ejercicio : (Junio 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Calcular razonadamente las siguientes integrales
a) (1 pto) \(\displaystyle\int \frac{x-3}{x^2+9}dx\qquad\quad\)
b) (1 pto) \(\displaystyle\int_1^{2}\frac{3-x^2+x^4}{x^3}dx\)
a) La integral puede escribirse como la resta de dos integrales, ver propiedades de las integrales y consultar también la tabla de integrales
\(\displaystyle\int \frac{x-3}{x^2+9}dx=\int \frac{x}{x^2+9}dx-\int \frac{3}{x^2+9}dx=\frac 12\ln |x^2+9|-3\frac 13\arctan \frac x3 +C=\bbox[yellow]{\frac 12\ln |x^2+9|-\arctan \frac x3 +C}\)
b) Como en el caso anterior, es posible escribir la integral como la suma de, en este caso, tres integrales,
\(\displaystyle\int_1^{2}\frac{3-x^2+x^4}{x^3}dx=\int_1^{2}\frac{3}{x^3}dx\int_1^{2}\frac{x^2}{x^3}dx+\int_1^{2}\frac{x^4}{x^3}dx=\int_1^{2}3x^{-3}dx-\int_1^{2}\frac 1xdx+\int_1^{2}xdx=\frac{3x^{-2}}{-2}-\ln |x|+\frac{x^2}{2}\Big]_1^2=\Big(\frac{2^2}{2}-\frac{3}{2.2^2}-\ln |2|\Big)-\Big(\frac{1^2}{2}-\frac{3}{2.1^2}-\ln |1|\Big)=\bbox[yellow]{\frac{21}{8}-\ln |2|}\)
Ejercicio : (Junio 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Dada la función \(f(x)=\frac{x^3}{(x-3)^2}\), se pide:
a) (1 pto) Hallar las asíntotas de su gráfica
b) (1 pto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=2\)
a) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador se anula en \(x=3\), éste será el punto de posible asíntota vertical
\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}\frac{x^3}{(x-3)^2}=\frac{27}{0^{+}}=\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}\frac{x^3}{(x-3)^2}=\frac{27}{0^{-}}=-\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=3}\) será una asíntota vertical
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{(x-3)^2}=\pm\infty\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay horizontales }}\)
. Asintótas oblicuas:
Las posibles asíntotas oblicuas tendrían la siguiente expresión \(y=mx+n\)
Con \(m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^3}{(x-3)^2}}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{(x-3)^2}=1\)
Y \(n=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(\frac{x^3}{(x-3)^2}-x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3-(x^3-6x^2+9x)}{x^2-6x+9}=6\)
Luego, la recta \(\bbox[yellow]{y=x+6}\) será asíntota oblicua
b) La ecuación de la recta tangente en \(x=2\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(2)=f'(2)(x-2)\)
Primeramente se calculará el valor de la función en el punto pedido, \(f(2)=\frac{2^3}{(2-3)^2}=8\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=\displaystyle\frac{3x^2(x-3)^2-x^32(x-3)}{(x-3)^4}=\frac{x^3-9x^2}{(x-3)^3}\)
Luego, \(f'(2)=\frac{2^3-9.2^2}{(2-3)^3}=28\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-8=28(x-2)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=28x-48}\)
Ejercicio : (Junio 2013 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dada la función \(f(x)=2\cos^2 x\), se pide:
a) (1 pto) Determinar los extremos absolutos de \(f(x)\) en \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
b) (1 pto) Determinar los puntos de inflexión de \(f(x)\) en \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
c) (1 pto) Calcular \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx\)
a) Para calcular los máximos y mínimos consultar máximos y mínimos y la tabla de derivadas y ecuaciones trigonométricas
\(f'(x)=2.2\cos x(-\sin x)=0\Rightarrow =0\Rightarrow -2\sin 2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}k\) para todo \(k\in\mathbb{Z}\)
Como el intervalo dado en el enunciado es \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), se tomarán únicamente los valores \(k=-1,0,1\) que corresponden, respectivamente, con las soluciones \(x=-\frac{\pi}{2},x=0,x=\frac{\pi}{2}\)
Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos, se evalúan en la segunda derivada,
\(f»(x)=-4\cos 2x\Rightarrow \begin{cases}f»(-\frac{\pi}{2})=-4<0\Rightarrow&\hbox{max}\\\ f»(0)=4>0\Rightarrow&\hbox{min}\\\ f»(\frac{\pi}{2})=-4<0\Rightarrow&\hbox{min}\\\end{cases}\)
Evaluando ahora los valores obtenidos en la función, se tienen los extremos absolutos pedidos, \(\bbox[yellow]{\hbox{Min. absoluto: }(-\frac{\pi}{2},0),\quad\hbox{ Max. absoluto: }(0,2),\quad\hbox{ Min. absoluto: }(\frac{\pi}{2},0)}\)
b) Para hallar los puntos de inflexión de \(f(x)\), se estudia la curvatura de la función, para ello se iguala la segunda derivada a cero (hallada en el apartado anterior), ver cómo estudiar la curvatura de una función
\(f»(x)=-4\cos 2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\) para todo \(k\in\mathbb{Z}\)
Para \(k=0\) se tiene \(x=\frac{\pi}{4}\) y para \(k=-1\), \(x=-\frac{\pi}{4}\)
Evaluando los valores obtenidos en la función, se tienen los puntos de inflexión pedidos, \(\bbox[yellow]{(\frac{\pi}{4},1),(-\frac{\pi}{4},1)}\)
b) Consultando la tabla de integrales, recordando además cómo se resuelven integrales definidas y repasando las ecuaciones trigonométricas, se tiene
\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2xdx=2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac 12(1+\cos 2x)dx=x+\frac 12\sin 2x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=(\frac{\pi}{2}+\frac 12\sin (2\frac{\pi}{2}))-(0+\frac 12\sin (2.0))=\bbox[yellow]{\frac{\pi}{2}}\)