Ejercicios de Cónicas I

Ejercicio 1: Calcular la recta tangente a la circunferencia \(4x^2+4y^2+x-3y-1=0\) en el punto \(P(-2,0)\)

Primeramente se calcula el centro de la circunferencia, ya que de esta manera puede calcularse explícitamente un vector desde el centro de la cónica hasta el punto \(P(-2,0)\) donde se quiere hallar la tangente. Este vector será, de hecho, perpendicular a la recta tangente pedida

Para calcular el centro se reescribe la ecuación dada en el enunciado para encontrar las coordenadas del centro \(C(a,b)\), ver geometría de una circunferencia,

\(\displaystyle 4x^2+4y^2+x-3y-1=0\Rightarrow x^2+y^2+\dfrac 14x-\dfrac 34y-\dfrac 14=0\)

De forma que

\(\displaystyle m=-2a\Rightarrow \dfrac 14=-2a\Rightarrow a=-\dfrac 18\)
y
\(\displaystyle n=-2b\Rightarrow -\dfrac 34=-2b\Rightarrow b=\dfrac 38\)

Así que el centro de la circunferencia será \(C(a,b)=C(-\dfrac 18,\dfrac 38)\)

El vector que une el centro con el punto \(P(-2,0)\) viene dado por, ver cómo calcular un vector con dos puntos dados,

\(\vec{CP}=\vec{u}=(-2,0)-(-\dfrac 18,\dfrac 38)=(-\dfrac{15}{8},-\dfrac 38)\)

De esta manera, el vector director \(\vec{v}\) de la recta tangente pedida será perpendicular a \(\vec{u}\), por lo que cumplirá \(\vec{u}.\vec{v}=0\), ver producto escalar de vectores, es decir

\(\displaystyle (-\dfrac{15}{8},-\dfrac 38).\vec{v}=0\Rightarrow\vec{v}=(\dfrac 38,-\dfrac{15}{8})\)

La ecuación general de la recta será de la forma \(\displaystyle \dfrac 38x-\dfrac{15}{8}y+cte=0\), ver cómo construir una recta

Como el punto \(P(-2,0)\) pasa por la recta construida se cumple que \(\displaystyle -\dfrac 68+cte=0\Rightarrow cte=\dfrac 68\)

La recta pedida será, por tanto, \(\displaystyle\dfrac 38x-\dfrac{15}{8}y+\dfrac 68=0\Rightarrow\boxed{x-5y+2=0}\)

 

Ejercicio 2: Calcular la ecuación de una elipse centrada en el origen con focos \(F'(-2,0)\) y \(F(2,0)\) con una excentricidad de \(0,5\)

Consultando la geometría de una elipse y sus expresiones, se tiene que

\(c=\dfrac{dist(F',F)}{2}=\dfrac 42=2\)

\(e=0,5=\dfrac ca\Rightarrow 0,5=\dfrac 2a\Rightarrow a=\dfrac{2}{0,5}\Rightarrow a=4\)

Sabiendo además que se cumple \(a^2=b^2+c^2\), se obtiene que \(4^2=b^2+2^2\Rightarrow b^2=16-4\Rightarrow b=\sqrt{12}\)

De forma que la expresión general de la elipse pedida será, ver geometría de una elipse,

\(\displaystyle\boxed{\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1}\)

 

Ejercicio 3: Considerando la cónica \(C_1:9x^2+16y^2=144\); identificar el tipo de cónica que es.

Especificar: vértices, focos, excentricidad y asíntotas (si existen)

Reescribiendo la expresión del enunciado queda

\(\displaystyle C_1:9x^2+16y^2=144\Rightarrow\dfrac{x^2}{\frac{144}{9}}+\dfrac{y^2}{\frac{144}{9}}=1\Rightarrow\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{3^2}=1\)

Es decir, se trata de una \(\boxed{elipse}\) centrada en el origen con semieje mayor \(a=4\) y semieje menor \(b=3\)

Por una igualdad fundamental, ver geometría de una elipse, se tiene

\(\displaystyle b^2+c^2=a^2\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)

La excentricidad será: \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)

Para calcular los vértices de la elipse se incluye primeramente el valor \(x=0\) en la elipse, de forma que

\(\displaystyle y^2=1.3^2=9\Rightarrow y=\pm 3\)

De forma que dos de los vértices de la elipse serán \((0,-3)\) y \((0,3)\)

Para hallar los otros dos se sustituye el valor \(y=0\) en la ecuación, obteniendo,

\(x^2=1.4^2=16\Rightarrow x=\pm 4\)

Quedando los dos vértices restantes: \((-4,0)\) y \((4,0)\)

Puede concluirse el resultado final:

\(\displaystyle\boxed{\hbox{Se trata de una elipse centrada en el origen}}\)
\(\boxed{\hbox{Focos:}\quad F'(-\sqrt{7},0)\quad F(\sqrt{7},0)}\)
\(\boxed{\hbox{Puntos de corte:}\quad (-4,0), (0,3), (0,-3), (4,0)}\)
\(\boxed{\hbox{Excentricidad:}\quad e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}}\)

 

Ejercicio 4: Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \(A(0,2)\), \(B(3,0)\) y \(C(3,3)\)

La ecuación general de una circunferencia viene dada por \(x^2+y^2+mx+ny+p=0\), ver geometría de una circunferencia, sustituyendo los puntos dados en el enunciado se tiene

\(\displaystyle \begin{cases} 0+4+0+2n+p=0&\\\ 9+0+3m+p=0&\\\ 9+9+3m+3n+p=0&\\\end{cases}\)

Despejando \(p\) de la primera ecuación se tiene \(p=-2n-4\). Incluyendo esta expresión en las ecuaciones restantes queda

\(\displaystyle \begin{cases} 9+3m-2(n+2)=0&\\\ 18+3m+3n-2(n+2)=0&\\\end{cases}\)

Resolviendo el sistema se obtiene \(m=-\dfrac{11}{3}\) y \(p=-2(-3)-4=6-4=2\)

De forma que la ecuación general de la circunferencia será \(\boxed{x^2+y^2-\dfrac{11}{3}x-3y+2=0}\)

Se calcula ahora la recta tangente y normal en \(C(3,3)\), ver ecuaciones de la recta,

\(2xdx+2ydy-\dfrac{11}{3}dx-3dy=0\Rightarrow(2x-\dfrac{11}{3})dx+(2y-3)dy=0\)

De forma que

\((2x-\dfrac{11}{3})dx=-(2y-3)dy\Rightarrow y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-\frac{11}{3}}{3-2y}\)

Sustituyendo el valor de \(C\) queda \(m=\dfrac{6-\frac{11}{3}}{3-6}=-\dfrac 79\)

Por lo que la recta tangente será \(\boxed{y-3=-\frac 79(x-3)}\)

Y la recta normal \(\boxed{y-3=\frac 97(x-3)}\)

 

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