\[\]Ejercicio 5: Calcular el lugar geométrico de los puntos \(P(x,y)\) que cumplen que, la distancia de \(P\) al punto \(A(2,2)\) es igual a la distancia de \(P\) a la recta \(r: x-2=0\)
Utilizando la expresión para la distancia entre dos puntos, ver distancia entre dos puntos, se tiene que
\(\displaystyle d(P,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}\)
Por otra parte, conociendo la ecuación que expresa la distancia de un punto a una recta, ver distancia de un punto a una recta, se tiene
\(\displaystyle d(P,r)=\frac{|2x+0y-2|}{\sqrt{1^2+0}}=2x-2\)
Luego, ha de cumplirse que \(\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=2x-2\)
Elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación se tiene
\(x^2+y^2-4x-4y+8=4x^2-8x+4\)
Agrupando términos se obtiene el resultado final \(\bbox[yellow]{3x^2-y^2-4x+4y-4=0}\)
\[\] Ejercicio 6: Calcular la ecuación de la elipse de excentricidad \(e=\frac 13\) y cuya distancia focal sea \(3\)
Con ayuda de la expresión general de una elipse, ver geometría de la elipse, se tiene que
\(\displaystyle 2c=3\Rightarrow c=\frac 32\)
Por otra parte, \(e=\frac 13=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac 13=\frac{3}{2a}\Rightarrow a=\frac 92\)
Sabiendo que se cumple \(a^2=b^2+c^2\), se obtiene
\(\frac{81}{4}=b^2+\frac 94\Rightarrow b^2=\frac{81-9}{4}=\frac{72}{4}\Rightarrow b=\sqrt{18}\)
Por lo que la ecuación de la elipse quedará, ver ecuación general de una elipse,
\(\bbox[yellow]{\frac{x^2}{\frac{81}{4}}+\frac{y^2}{18}=1}\)
\[\] Ejercicio 7: Hallar la ecuación cartesiana de la parábola de eje horizontal, abierta hacia la derecha y que pasa por \((-2,0)\), \((0,3)\) y \((0,-3)\)
La ecuación general de una parábola con vértice en el eje de abcisas y simétrica respecto a este eje es \(x=ay^2+by+c\), ver geometría de una parábola. De manera que habrá que calcular los coeficientes con los tres puntos dados en el enunciado
Sustituyendo los tres puntos se obtienen tres ecuaciones, el sistema formado por esas tres ecuaciones será lo que habrá que resolver para obtener los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\):
\(\displaystyle \begin{cases} -2=c&\\\ 0=9a+3b+c&\\\ 0=9a-3b+c&\\\end{cases}\)
De la primera ecuación se obtiene \(c=-2\), sustituyendo este valor en las ecuaciones restantes y sumándolas, se tiene \(0=18a-4\Rightarrow a=\frac{4}{18}=\frac 29\)
Despejando se obtiene el valor de \(b\): \(b=0\)
De esta manera, la ecuación de la hipérbola queda \(\bbox[yellow]{x=\frac 29y^2-2}\)
\[\] Ejercicio 8: Encontrar el centro y el radio de la circunferencia \(x^2+y^2-5x-15y-20=0\)
Sabiendo que la ecuación general de una circunferencia viene dada por la expresión
\(x^2+y^2+mx+ny+p=0\)
Consultando además las expresiones del centro, \(C\), y el radio, \(r\), de una circunferencia, se obtiene
\(m=-2a=-5\Rightarrow a=\frac 52\)
\(n=-2b=-15\Rightarrow b=\frac{15}{2}\)
y
\(p=a^2+b^2-r^2\Rightarrow -20=(\frac 52)^2+(\frac{15}{2})^2-r^2\Rightarrow r^2=\frac{25+225+80}{4}=\frac{\sqrt{330}}{2}\)
De manera que el resultado final será
\(\bbox[yellow]{C(\frac 52,\frac{15}{2})\quad\hbox{y}\quad r=\frac{\sqrt{330}}{2}}\)
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