Crecimiento y decrecimiento
Una función es creciente (decreciente) en un intervalo si al aumentar (disminuir) el valor de \(x\), aumenta (disminuye) el valor de la \(f(x)\)
Máximos y mínimos
Una función \(f(x)\) tiene su máximo absoluto (mínimo absoluto) en el punto \(x=a\) si el valor que toma la función en ese punto es mayor o igual (menor o igual) que en cualquier otro punto del dominio de la función
Una función \(f(x)\) tiene su máximo relativo (mínimo relativo) en el punto \(x=a\) si el valor que toma la función en ese punto es mayor o igual (menor o igual) que los puntos próximos a él
Calcular puntos críticos
Se iguala la derivada a cero, ver tabla de derivadas, y se despeja la \(x\) de la ecuación resultante, ver cómo calcular soluciones de polinomios, el punto crítico será \((x,f(x))\)
Ejemplo:
Sea \(f(x)=3x^2+6x\Rightarrow f'(x)=6x+6=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow\) el punto crítico es \((-1,-3)\)
Cómo saber si es máximo o mínimo
- Criterio de la segunda derivada:Se evalúa el punto crítico \(x_0\) en la derivada segunda:- Si \(f'(x_0)<0\Rightarrow\) \((x_0,f(x_0))\) es un máximo– Si \(f'(x_0)>0\Rightarrow\) \((x_0,f(x_0))\) es un mínimo
– Si \(f'(x_0)=0\Rightarrow\) \((x_0,f(x_0))\) es un punto de inflexión, ver puntos de inflexión
Ejemplo:
Sea \(f(x)=3x^2+6x\Rightarrow x=-1\) su punto crítico, y \(f'(x)=6x+6\Rightarrow f»(x)=6\Rightarrow f»(-1)>0\Rightarrow\) \((-1,-3)\) es un mínimo
- Criterio del signo de la primera derivada:Se evalúa el signo de la derivada antes y después del punto crítico obtenido, \(x_0\):- Si \(f'(x<x_0)<0\quad\) y \(\quad f'(x>x_0)>0\Rightarrow\), \((x_0,f(x_0))\) es un mínimo– Si \(f'(x<x_0)>0\quad\) y \(\quad f'(x>x_0)<0\Rightarrow\), \((x_0,f(x_0))\) es un máximo
Ejemplo:
Sea \(f(x)=3x^2+6x\Rightarrow x=-1\) su punto crítico, y \(f'(x)=6x+6\Rightarrow f'(-2)=-12+6<0\quad\hbox{ y }\quad f'(0)=6>0\Rightarrow\) \((-1,-3)\) es un mínimo