Calcular máximos y mínimos

Crecimiento y decrecimiento

Una función es creciente (decreciente) en un intervalo si al aumentar (disminuir) el valor de \(x\), aumenta (disminuye) el valor de la \(f(x)\)

Máximos y mínimos

Una función \(f(x)\) tiene su máximo absoluto (mínimo absoluto) en el punto \(x=a\) si el valor que toma la función en ese punto es mayor o igual (menor o igual) que en cualquier otro punto del dominio de la función

Una función \(f(x)\) tiene su máximo relativo (mínimo relativo) en el punto \(x=a\) si el valor que toma la función en ese punto es mayor o igual (menor o igual) que los puntos próximos a él

Calcular puntos críticos

Se iguala la derivada a cero, ver tabla de derivadas, y se despeja la \(x\) de la ecuación resultante, ver cómo calcular soluciones de polinomios, el punto crítico será \((x,f(x))\)

Ejemplo:

Sea \(f(x)=3x^2+6x\Rightarrow f'(x)=6x+6=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow\) el punto crítico es \((-1,-3)\)

Cómo saber si es máximo o mínimo

  • Criterio de la segunda derivada:Se evalúa el punto crítico \(x_0\) en la derivada segunda:- Si \(f'(x_0)<0\Rightarrow\) \((x_0,f(x_0))\) es un máximo- Si \(f'(x_0)>0\Rightarrow\) \((x_0,f(x_0))\) es un mínimo

    - Si \(f'(x_0)=0\Rightarrow\) \((x_0,f(x_0))\) es un punto de inflexión, ver puntos de inflexión

Ejemplo:

Sea \(f(x)=3x^2+6x\Rightarrow x=-1\) su punto crítico, y \(f'(x)=6x+6\Rightarrow f''(x)=6\Rightarrow f''(-1)>0\Rightarrow\) \((-1,-3)\) es un mínimo

  • Criterio del signo de la primera derivada:Se evalúa el signo de la derivada antes y después del punto crítico obtenido, \(x_0\):- Si \(f'(x y \(\quad f'(x>x_0)>0\Rightarrow\), \((x_0,f(x_0))\) es un mínimo- Si \(f'(x0\quad\) y \(\quad f'(x>x_0)<0\Rightarrow\), \((x_0,f(x_0))\) es un máximo

Ejemplo:

Sea \(f(x)=3x^2+6x\Rightarrow x=-1\) su punto crítico, y \(f'(x)=6x+6\Rightarrow f'(-2)=-12+6<0\quad\hbox{ y }\quad f'(0)=6>0\Rightarrow\) \((-1,-3)\) es un mínimo

 

Ver ejercicios de Optimización