\[\]Ejercicio 1: Dada la circunferencia \(C: x^2+y^2-6x+3y=0\)
1. Determinar el centro y el radio
2. Obtener la ecuación de la recta tangente a \(C\) en el punto \(P(3,0)\)
3. Encontrar la ecuación de la circunferencia concéntrica con \(C\) que es tangente a la recta \(s: 3x-y+2=0\)
Consultar la geometría de la circunferencia para repasar las expresiones de la circunferencia y para poder hallar el centro \(C(a,b)\) y el radio \(r\),
\(\displaystyle m=-2a=-6\Rightarrow a=3\)
\(\displaystyle n=-2b=3\Rightarrow b=-\frac 32\)
Sabiendo además que
\(\displaystyle p=a^2+b^2-r^2\Rightarrow 0=9+\frac 94-r^2\Rightarrow r=\frac{\sqrt{45}}{2}\)
De forma que el resultado final queda
\(\bbox[yellow]{C(3,-\frac 32)\quad\hbox{y}\quad r=\frac{\sqrt{45}}{2}}\)
Ejercicio 2: Calcular la ecuación de una elipse centrada en el origen de los focos \(F'(-4,0)\) y \(F(4,0)\) con una excentricidad de \(0,7\)
Consultando las expresiones para una elipse, ver geometría de la elipse, se tiene que
\(c=\frac{dist(F,F’)}{2}=\frac 82=4\)
\(e=0,7=\frac ca\Rightarrow 0,7=\frac 4a\)
Despejando se obtiene el semieje mayor de la elipse
\(a=\frac{4}{0,7}=5,71\)
Sabiendo además que en la elipse se cumple la expresión \(a^2=b^2+c^2\), siendo en este caso
\(32,60=b^2+16\Rightarrow b=\sqrt{16,6}\)
De esta forma, la ecuación general de la elipse queda \(\bbox[yellow]{\frac{x^2}{32,6}+\frac{y^2}{16,6}=1}\)
\[\] Ejercicio 3: Se considera la cónica \(C: 9x^2-16y^2=144\). Identificar el tipo de cónica que es y hallar sus elementos característicos: vértices, focos, excentricidad y asíntotas (si existen)
Reescribiendo la ecuación de \(C\) se obtiene
\(C: 9x^2-16y^2=144\Rightarrow\frac{x^2}{\frac{144}{9}}-\frac{y^2}{\frac{144}{16}}=1\Rightarrow\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}\)
De forma que se trata de una hipérbola con \(a=4\) y \(b=3\) y está centrada en el origen, ver geometría de una hipérbola
Para calcular los focos de dicha hipérbola se tiene la siguiente igualdad \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow c=\sqrt{16+9}=5\)
Para calcular la excentricidad se tiene \(e=\frac ca=\frac 54\)
Las pendientes de las asíntotas serán \(m=\frac ba=\frac 34\) y \(m’=-\frac ba=-\frac 34\)
Teniendo en cuenta que estas asíntotas pasan por el punto \((0,0)\), las rectas buscadas serán
\(y=\frac 34x\); \(y=-\frac 34x\)
De manera que se puede concluir el resultado final:
\(\displaystyle\bbox[yellow]{\hbox{Se trata de una hiperbola centrada en el origen}}\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{Focos:}\quad F'(-5,0)\quad F(5,0)}\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{Puntos de corte:}\quad (-4,0), (4,0)}\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{Excentricidad:}\quad e=\frac{5}{4}}\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{Asintotas:}\quad y=\frac 34x;\qquad y=-\frac 34x}\)