Ejercicios de Cónicas III

Ejercicio 1: Dada la circunferencia \(C: x^2+y^2-6x+3y=0\)

1. Determinar el centro y el radio

2. Obtener la ecuación de la recta tangente a \(C\) en el punto \(P(3,0)\)

3. Encontrar la ecuación de la circunferencia concéntrica con \(C\) que es tangente a la recta \(s: 3x-y+2=0\)

Consultar la geometría de la circunferencia para repasar las expresiones de la circunferencia y para poder hallar el centro \(C(a,b)\) y el radio \(r\),

\(\displaystyle m=-2a=-6\Rightarrow a=3\)
\(\displaystyle n=-2b=3\Rightarrow b=-\dfrac 32\)

Sabiendo además que

\(\displaystyle p=a^2+b^2-r^2\Rightarrow 0=9+\dfrac 94-r^2\Rightarrow r=\dfrac{\sqrt{45}}{2}\)

De forma que el resultado final queda

\(\boxed{C(3,-\dfrac 32)\quad\hbox{y}\quad r=\dfrac{\sqrt{45}}{2}}\)

Ejercicio 2: Calcular la ecuación de una elipse centrada en el origen de los focos \(F'(-4,0)\) y \(F(4,0)\) con una excentricidad de \(0,7\)

Consultando las expresiones para una elipse, ver geometría de la elipse, se tiene que

\(c=\dfrac{dist(F,F')}{2}=\dfrac 82=4\)
\(e=0,7=\dfrac ca\Rightarrow 0,7=\dfrac 4a\)

Despejando se obtiene el semieje mayor de la elipse

\(a=\dfrac{4}{0,7}=5,71\)

Sabiendo además que en la elipse se cumple la expresión \(a^2=b^2+c^2\), siendo en este caso

\(32,60=b^2+16\Rightarrow b=\sqrt{16,6}\)

De esta forma, la ecuación general de la elipse queda \(\boxed{\dfrac{x^2}{32,6}+\dfrac{y^2}{16,6}=1}\)

 

Ejercicio 3: Se considera la cónica \(C: 9x^2-16y^2=144\). Identificar el tipo de cónica que es y hallar sus elementos característicos: vértices, focos, excentricidad y asíntotas (si existen)

Reescribiendo la ecuación de \(C\) se obtiene

\(C: 9x^2-16y^2=144\Rightarrow\dfrac{x^2}{\frac{144}{9}}-\dfrac{y^2}{\frac{144}{16}}=1\Rightarrow\dfrac{x^2}{4^2}-\dfrac{y^2}{3^2}\)

De forma que se trata de una hipérbola con \(a=4\) y \(b=3\) y está centrada en el origen, ver geometría de una hipérbola

Para calcular los focos de dicha hipérbola se tiene la siguiente igualdad \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow c=\sqrt{16+9}=5\)

Para calcular la excentricidad se tiene \(e=\dfrac ca=\dfrac 54\)

Las pendientes de las asíntotas serán \(m=\dfrac ba=\dfrac 34\) y \(m'=-\dfrac ba=-\dfrac 34\)

Teniendo en cuenta que estas asíntotas pasan por el punto \((0,0)\), las rectas buscadas serán

\(y=\dfrac 34x\); \(y=-\dfrac 34x\)

De manera que se puede concluir el resultado final:

\(\displaystyle\boxed{\hbox{Se trata de una hiperbola centrada en el origen}}\)
\(\boxed{\hbox{Focos:}\quad F'(-5,0)\quad F(5,0)}\)
\(\boxed{\hbox{Puntos de corte:}\quad (-4,0), (4,0)}\)
\(\boxed{\hbox{Excentricidad:}\quad e=\dfrac{5}{4}}\)
\(\boxed{\hbox{Asintotas:}\quad y=\dfrac 34x;\qquad y=-\dfrac 34x}\)

 

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