\[\] Ejercicio 11: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x+\cos ^2x}dx\)
Haciendo el cambio de variable \(u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx\), la integral quedaría como
\(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x+\cos ^2x}dx=\displaystyle\int\frac{-du}{u+u^2}dx\)
El denominador puede escribirse como \(u(1+u)\)
De manera que la integral puede expresarse como suma de dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{-du}{u+u^2}dx=\displaystyle\int\frac{A}{u}+\frac{B}{u+1}du\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial, despejando los parámetros:
\(A(u+1)+Bu=-1\Rightarrow u(A+B)=0\quad\hbox{y}\quad A=-1\Rightarrow A=-1\quad\hbox{y}\quad B=1\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{u}+\frac{B}{u+1}du=\displaystyle\int\frac{-1}{u}+\frac{1}{u+1}du\)
Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, con ayuda de la tabla de integrales y observando la propiedades de los logaritmos, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{-1}{u}+\frac{1}{u+1}du=-\ln u+\ln (u+1)+C=\ln \big(\frac{u+1}{u}\big)+C\)
Deshaciendo el cambio \(u=\cos x\) se llega al resultado final
\(\bbox[yellow]{\displaystyle \ln \big(\frac{\cos x+1}{\cos x}\big)+C}\)
\[\] Ejercicio 12: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{1}{9+(x-3)^2}dx\)
La integral puede expresarse de la siguiente manera,
\(\displaystyle\int\frac{1}{9+(x-3)^2}dx=\displaystyle\int\frac{1}{9(1+(\frac{x-3}{3})^2)}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{1}{9}\arctan (\frac{x-3}{3})+C}\)
\[\] Ejercicio 13: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int (x^4+6x^3+2)^3(x^3+\frac{18}{4}x^2)dx\)
Reescribiendo la integral, queda
\(\displaystyle\int (x^4+6x^3+2)^3(x^3+\frac{18}{4}x^2)dx=\displaystyle\frac 14\int (4x^3+18x^2)(x^4+6x^3+2)^3dx\)
Teniendo en cuenta que \((x^4+6x^3+2)’=4x^3+18x^2\), y consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla
\(\displaystyle\frac 14\int (4x^3+18x^2)(x^4+6x^3+2)^3dx=\frac 14\frac{(x^4+6x^3+2)^4}{4}+C\)
Reescribiendo el resultado, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle \frac{(x^4+6x^3+2)^4}{16}+C}\)
\[\] Ejercicio 14: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int -x^3\sin xdx\)
En la expresión no aparece una función y su derivada y no es de tipo racional ni puede simplificarse, por lo que la integral se resuelve por partes.
Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=x^3,\; du=3x^2dx\) y \(dv= -\sin x,\; v=\cos x\), obteniendo
\(\displaystyle\int -x^3\sin xdx=x^3\cos x-\int 3x^2\cos xdx\)
La integral que ha quedado no es directa, por lo que es necesario volver a integrar por partes para obtener el resultado, siendo en este caso \(u=3x^2,\; du=6xdx\) y \(dv=\cos x,\;v=\sin x\), quedando
\(\displaystyle x^3\cos x-\int 3x^2\cos xdx=\displaystyle x^3\cos x-3x^2\sin x+\int 6x\sin xdx\)
La integral que ha quedado vuelve a no ser inmediata, por lo que hay que integrar por partes de nuevo, en este caso \(u=6x,\; du=6dx\) y \(dv=\sin x,\;v=-\cos x\), obteniendo
\(\displaystyle x^3\cos x-3x^2\sin x+\int 6x\sin xdx=\displaystyle x^3\cos x-3x^2\sin x- 6x\cos x+\int 6\cos xdx\)
Consultando la tabla de integrales, en concreto la integral del coseno, se obtiene
\(\displaystyle x^3\cos x-3x^2\sin x- 6x\cos x+\int 6\cos xdx=\displaystyle x^3\cos x-3x^2\sin x- 6x\cos x+6\sin x+C\)
Sacando factor común se tiene el resultado final,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle \sin x(6-3x^2)+\cos x(x^3-6x)+C}\)
Ver ejercicios de repaso de integrales varias
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