Distancias y ángulos

DISTANCIAS

 

  • Distancia de una función \(f(x)\) a un punto \(x_0\)

Sea f(x) la función (de forma que punto de esa función es \((x,f(x))\)):

\(d(f(x),x_0)= \sqrt{(x-x_0)^2+(f(x)-f(x_0))^2}\)

 

  • Distancia entre dos puntos

Sean \(A(x_1,y_1,z_1)\) y \(B(x_2,y_2,z_2)\), entonces

\(d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)

Punto medio entre dos puntos

Sean \(A(x_1,y_1,z_1)\) y \(B(x_2,y_2,z_2)\), entonces

\(M(A,B)=(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2},\dfrac{z_1+z_2}{2})\)

 

  • Distancia de un punto a una recta

Sea \(r: ax+by+c=0\) y \(P=(p_1, p_2)\), entonces,

\(d(P,r)=\dfrac{|ap_1+bp_2+c|}{(\sqrt{a^2+b^2})}\)

En \(R^3\) :

Sea \(r: ax+by+cz+d=0\) y \(P(p1,p2,p3)\), entonces

 \(d(P,r)=\dfrac{|\vec{v_r}\times\vec{QP}|}{|\vec{v_r}|}\)

con \(\vec{v_r}\) el vector director de \(r\), ver cómo calcular el vector director de una recta dada y \(Q\) es un punto de \(r\). Ver también cómo calcular el producto vectorial entre dos vectores

 

  •  Distancia de un punto a un plano

Sea \(\pi:= ax+by+cz+d=0\) y un punto \(P=(p_1,p_2,p_3)\), entonces

 \(d(P,\pi)=\dfrac{|p_1.a+p_2.b+p_3.c+d|}{(\sqrt{a^2+b^2+c^2})}\)

 

  • Distancia entre dos rectas

Sea \(A\) un punto de \(r_1\) y \(\vec{v}\) su vector director y \(B\) un punto de \(r_2\) y \(\vec{u}\) su vector director, entonces, recordando cómo calcular el producto vectorial entre dos vectores,

            \(d(r_1,r_2)=\dfrac{|\vec{AB}.(\vec{v}\times\vec{u})|}{|\vec{v}\times\vec{u}|}\)

 

ÁNGULOS

 

  • Ángulo entre dos rectas

Sean \(r_1: ax+by+c=0\) y \(r_2: a'x+b'y+c'=0\), entonces

\(\cos\alpha= \dfrac{|a.a'+b.b'|}{(|r_1|.|r_2|)}\)

Ver ecuaciones de la recta

 

  • Ángulo entre dos planos

Sean \(\pi:ax+by+cz+d=0\) y \(\pi':a'x+b'y+c'z+d'=0\), entonces

\(\cos\alpha= \dfrac{|a.a'+b.b'+c.c'|}{(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2})}\)

 

  • Ángulo entre una recta y un plano

Sea \(r:\dfrac{x-p}{u}=\dfrac{x-q}{v}=\dfrac{z-s}{w}\) y \(\pi: ax+by+cz+d=0\), entonces

\(\sin\alpha=\dfrac{u.a+v.b+w.c}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

Ver ecuación del plano

 

Ver ejercicios de Geometría analítica