DISTANCIAS
- Distancia de una función \(f(x)\) a un punto \(x_0\)
Sea f(x) la función (de forma que punto de esa función es \((x,f(x))\)):
\(d(f(x),x_0)= \sqrt{(x-x_0)^2+(f(x)-f(x_0))^2}\)
- Distancia entre dos puntos
Sean \(A(x_1,y_1,z_1)\) y \(B(x_2,y_2,z_2)\), entonces
\(d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)
Punto medio entre dos puntos
Sean \(A(x_1,y_1,z_1)\) y \(B(x_2,y_2,z_2)\), entonces
\(M(A,B)=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})\)
- Distancia de un punto a una recta
Sea \(r: ax+by+c=0\) y \(P=(p_1, p_2)\), entonces,
\(d(P,r)=\frac{|ap_1+bp_2+c|}{(\sqrt{a^2+b^2})}\)
En \(R^3\) :
Sea \(r: ax+by+cz+d=0\) y \(P(p1,p2,p3)\), entonces
\(d(P,r)=\frac{|\vec{v_r}\times\vec{QP}|}{|\vec{v_r}|}\)
con \(\vec{v_r}\) el vector director de \(r\), ver cómo calcular el vector director de una recta dada y \(Q\) es un punto de \(r\). Ver también cómo calcular el producto vectorial entre dos vectores
- Distancia de un punto a un plano
Sea \(\pi:= ax+by+cz+d=0\) y un punto \(P=(p_1,p_2,p_3)\), entonces
\(d(P,\pi)=\frac{|p_1.a+p_2.b+p_3.c+d|}{(\sqrt{a^2+b^2+c^2})}\)
- Distancia entre dos rectas
Sea \(A\) un punto de \(r_1\) y \(\vec{v}\) su vector director y \(B\) un punto de \(r_2\) y \(\vec{u}\) su vector director, entonces, recordando cómo calcular el producto vectorial entre dos vectores,
\(d(r_1,r_2)=\frac{|\vec{AB}.(\vec{v}\times\vec{u})|}{|\vec{v}\times\vec{u}|}\)
ÁNGULOS
- Ángulo entre dos rectas
Sean \(r_1: ax+by+c=0\) y \(r_2: a’x+b’y+c’=0\), entonces
\(\cos\alpha= \frac{|a.a’+b.b’|}{(|r_1|.|r_2|)}\)
- Ángulo entre dos planos
Sean \(\pi:ax+by+cz+d=0\) y \(\pi’:a’x+b’y+c’z+d’=0\), entonces
\(\cos\alpha= \frac{|a.a’+b.b’+c.c’|}{(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a’^2+b’^2+c’^2})}\)
- Ángulo entre una recta y un plano
Sea \(r:\frac{x-p}{u}=\frac{x-q}{v}=\frac{z-s}{w}\) y \(\pi: ax+by+cz+d=0\), entonces
\(\sin\alpha=\frac{u.a+v.b+w.c}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)