Ejercicios de Dominio y recorrido II

Ejercicio 1: Hallar el dominio de la siguiente función: \(f(x)=\displaystyle\frac{x+7}{(x-2)\sqrt{x+1}}\)

Para que existan soluciones reales de \(f(x)\) el denominador ha de ser distinto de cero (ver el dominio de una función)

De manera que los puntos que hacen que el polinomio del denominador sea distinto de cero serán los puntos que formarán el dominio de \(f(x)\)

\(\displaystyle x-2=0\quad\hbox{y}\quad\sqrt{x+1}=0\Rightarrow x=2\quad\hbox{y}\quad x=-1\)

Como también hay una raíz cuadrada en la función, por lo que para que existan raíces reales se debe tener (ver el dominio de una función)

\(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\)

De forma que el dominio de \(f(x)\) serán todo los puntos de \(\mathbb{R}\) mayores que \(-1\) (sin incluirlo), excepto el \(2\),

\(\boxed{\displaystyle\mathcal{D}=(-1,2)\cup (2,\infty)}\)

Ejercicio 2: Sea \(f(x)=|x|\) y \(g(x)=x^2+7\). Hallar \(\quad f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\)

Para saber cómo calcular \(f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\) puede consultarse cómo componer funciones

\(f\;o\;g(x)=f(g(x))=f(x^2+7)=|x^2+7|\quad\hbox{y}\quad g\;o\;f(x)=g(f(x))=g(|x|)=|x|^2+7=x^2+7\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f\;o\;g(x)=|x^2+7|,\qquad g\;o\;f(x)=\sqrt{x^2+7}}\)

Ejercicio 3: Sea \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x-1}\) en el dominio \((-\infty,2)\cup (2,\infty)\). Calcular \(f^{-1}(x)\)

El método para hallar la inversa \(f^{-1}(x)\) es despejar la variable \(x\) en función de \(f(x)\) (ver cómo calcular la inversa de una función)

\((x-1)f(x)=x\Rightarrow xf(x)-f(x)=x\)

Agrupando las \(x\) a un lado del igual y sacando factor común, se obtiene

\(x(f(x)-1)=f(x)\Rightarrow x=\displaystyle\frac{f(x)}{f(x)-1}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x}{x-1}}\)

 

Ejercicio 4: Hallar el dominio de la siguiente función: \(f(x)=\displaystyle\frac{x-2}{(x+4)\sqrt{x+2}}\)

Para que existan soluciones reales de \(f(x)\) el denominador ha de ser distinto de cero (ver el dominio de una función)

De manera que los puntos que hacen que el polinomio del denominador sea distinto de cero serán los puntos que formarán el dominio de \(f(x)\)

\(\displaystyle x-4=0\quad\hbox{y}\quad\sqrt{x+2}=0\Rightarrow x=-4\quad\hbox{y}\quad x=-2\)

Como también hay una raíz cuadrada en la función, por lo que para que existan raíces reales se debe tener (ver el dominio de una función)

\(x+2\geq 0\Rightarrow x\geq -2\)

De forma que el dominio de \(f(x)\) serán todo los puntos de \(\mathbb{R}\) mayores que \(-2\) (sin incluirlo),

\(\boxed{\displaystyle\mathcal{D}=(-2,\infty)}\)

Ejercicio 5: Sea \(f(x)=x^2-2\) y \(g(x)=\sqrt{x-2}\). Hallar \(\quad f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\)

Para saber cómo calcular \(f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\) puede consultarse cómo componer funciones

\(f\;o\;g(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x-2})=(\sqrt{x-2})^2-2=x-4\quad\hbox{y}\quad g\;o\;f(x)=g(f(x))=g(x^2-2)=\sqrt{x^2-2-2}=\sqrt{x^2-4}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f\;o\;g(x)=x-4,\qquad g\;o\;f(x)=\sqrt{x^2-4}}\)

Ejercicio 6: Sea \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{3x-2}\) en el dominio \((1,\infty)\). Calcular \(f^{-1}(x)\)

El método para hallar la inversa \(f^{-1}(x)\) es despejar la variable \(x\) en función de \(f(x)\) (ver cómo calcular la inversa de una función)

\((3x-2)f(x)=x\Rightarrow 3xf(x)-2f(x)=x\)

Agrupando las \(x\) a un lado del igual y sacando factor común, se obtiene

\(x(3f(x)-1)=2f(x)\Rightarrow x=\displaystyle\frac{2f(x)}{3f(x)-1}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{2x}{3x-1}}\)

 

Ejercicio 7: Hallar el dominio de la siguiente función: \(f(x)=\displaystyle\frac{e^x}{x^2}\)

Para que existan soluciones reales de \(f(x)\) el denominador ha de ser distinto de cero (ver el dominio de una función)

De manera que los puntos que hacen que el polinomio del denominador sea distinto de cero serán los puntos que formarán el dominio de \(f(x)\)

\(\displaystyle x^2=0\Rightarrow x=0\)

De forma que el dominio de \(f(x)\) será todo \(\mathbb{R}\) menos el \(0\),

\(\boxed{\displaystyle\mathcal{D}=(-\infty, 0)\cup (0,\infty)}\)

Ejercicio 8: Sea \(f(x)=\ln x\) y \(g(x)=\displaystyle\frac{x}{x+2}\). Hallar \(\quad f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\)

Para saber cómo calcular \(f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\) puede consultarse cómo componer funciones

\(f\;o\;g(x)=f(g(x))=\displaystyle f(\frac{x}{x+2})=\displaystyle\ln (\frac{x}{x+2})\quad\hbox{y}\quad g\;o\;f(x)=g(f(x))=g(\ln x)=\displaystyle\frac{\ln x}{\ln x+2}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f\;o\;g(x)=\displaystyle\ln (\frac{x}{x+2}),\qquad g\;o\;f(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{\ln x+2}}\)

Ejercicio 9: Sea \(f(x)=\displaystyle\frac{x-1}{x-\frac 12}\) en el dominio \((\frac 12,\infty)\). Calcular \(f^{-1}(x)\)

El método para hallar la inversa \(f^{-1}(x)\) es despejar la variable \(x\) en función de \(f(x)\) (ver cómo calcular la inversa de una función)

\((x-\frac 12)f(x)=x-1\Rightarrow xf(x)-\frac 12 f(x)=x-1\)

Agrupando las \(x\) a un lado del igual y sacando factor común, se obtiene

\(x(f(x)-1)=\frac 12 f(x)-1\Rightarrow x=\displaystyle\frac{\frac{f(x)}{2}-1}{f(x)-1}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\frac{x}{2}-1}{x-1}}\)

 

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