Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
El tiempo de renovación de un teléfono móvil, expresado en años, se puede aproximar mediante una distribución normal con desviación típica de \(0,4\) años
a) Se toma una muestra aleatoria simple de \(400\) usuarios y se obtiene una media muestral igual a \(1,75\) años. Determínese un intervalo de confianza al \(95\)% para el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil
b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual a \(0,02\) años con un nivel de confianza del \(90\)%
a) Considerando \(x\) la variable aleatoria que mide el tiempo de renovación de un teléfono móvil, se comportará como una variable continua con distribución Normal, \(x:N(\mu,\sigma)\), ver estadística
Para muestras de \(400\) elementos, las medias muestrales también siguen una distribución Normal del tipo \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El intervalo de confianza se calculará utilizando la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(1,75-1,96\frac{0,4}{\sqrt{400}},1,75+1,96\frac{0,4}{\sqrt{400}})=\bbox[yellow]{(1,71, 1,79)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,90\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\), por lo tanto, \(n>(1,645\frac{0,4}{0,02})^2\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 1083}\)
Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se considera una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(210\). Se toma una muestra aleatoria simple de \(64\) elementos
a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y \(\mu\) sea mayor o igual que \(22\)
b) Determínese un intervalo de confianza del \(99\)% para \(\mu\), si la media muestral es igual a \(1532\)
a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable dada, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística
Para muestras de tamaño \(64\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{64}})\)
El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 22)\)
Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 22)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 22)=1-P(-22<\bar{x}-\mu< 22)=1-P(\mu-22<\bar{x}< \mu +22)\)
Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)
De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{64}}}\) y
\(1-P(\mu-22<\bar{x}< \mu +22)=1-P(\frac{\mu-22-\mu}{\frac{210}{8}}<z<\frac{\mu+22-\mu}{\frac{210}{8}})=1-P(-0,84<z<0,84)=1-(P(z<0,84)-P(z\leq -0,84))=1-(P(z<0,84)-P(z\geq 0,84))=1-(P(z<0,84)-(1-P(z< 0,84))\)
Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 22)=0,401}\)
b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado
Nivel de confianza del \(99\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,99\Rightarrow \alpha=0,01\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=2,58\)
Por lo tanto,
\(IC=(1532-2,58\frac{210}{\sqrt{64}},1532+2,58\frac{210}{\sqrt{64}})=\bbox[yellow]{(1464, 1600)}\)