Ejercicio : (Junio 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Se supone que el precio en kilogramos de los alumnos de un colegio de Educación Primaria el primer día de curso se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(2,8\) Kg. Una muestra aleatoria simple de \(8\) alumnos de ese colegio proporciona los siguientes resultados (en Kg):
\(26\qquad\quad 27,5\qquad\quad 31\qquad\quad 28\qquad\quad 25,5\qquad\quad 30,5\qquad\quad 32\qquad\quad 31,5\)
a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(90\)% para el peso medio de los alumnos de ese colegio el primer día de curso
b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media plobacional sea menor o igual que \(0,9\) Kg con un nivel de confianza del \(97\)%e
Considerando \(x\) la variable aleatoria que mide el peso de los alumnos, se comportará como una variable continua con distribución Normal, \(x:N(\mu,\sigma)\), ver estadística
Para muestras de \(8\) elementos, \(\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{232}{8}=29\)Kg
Las medias muestrales también siguen una distribución Normal del tipo \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=N(\mu,\frac{2,8}{\sqrt{8}})\)
a) El intervalo de confianza se calculará utilizando la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,10\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,65\)
Por lo tanto,
\(IC=(29-1,65\frac{2,8}{\sqrt{8}},29+1,65\frac{2,8}{\sqrt{8}})=\bbox[yellow]{(27,4, 30,6)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(97\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,97\Rightarrow\alpha=0,03\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,17\), por lo tanto, \(n>(2,17\frac{2,8}{0,9})^2=45,57\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 46}\)
Ejercicio : (Junio 2012 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población de regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(45\) euros
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza \((251,6, 271,2)\) para \(\mu\), con un nivel de confianza del \(95\)%. calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida
b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(64\) para estimar \(\mu\). Calcúlese el error máximo cometido por esa estimación con un nivel de confianza del \(90\)%
a) Los intervalos de confianza están centrados en la media, ver intervalos de confianza en estadística, por lo tanto
\(\bar{x}=\frac{251,6+271,2}{2}=261,4\)
El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(95\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,05\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\), por lo tanto, \(n=(1,96\frac{45}{9,8})^2\Rightarrow\bbox[yellow]{n= 81}\)
b) El error máximo permitido viene dado por la fórmula
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,90\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.65\), por lo tanto, \(E=1,65\frac{45}{8}\Rightarrow\bbox[yellow]{n= 9,3}\)