OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1:(2 ptos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real \(a\):
\(\displaystyle\begin{cases}x+y+az=2&\\3x+4y+2z=a& \\2x+3y-z=1&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso \(a=-1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &1&a\\ 3&4& 2\\ 2&3& -1\end{pmatrix}\quad\) y \(\quad A^{*}=\begin{pmatrix}1 &1&a&2\\ 3&4& 2&a\\ 2&3& -1&1\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a-3=0\Rightarrow a=3\)
– Si \(a\neq 3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 3}\)
– Si \(a=3\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 3& 4\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}<\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=3,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=-1\), el sistema es compatible determinado, consultando cómo se resuelven sistemas de ecuaciones, se concluye el resultado,
\(\begin{cases}x+y-z=2&\\3x+4y+2z=-1& \\2x+3y-z=1&\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{\begin{cases}x=3&\\y=-2& \\z=-1&\\\end{cases}}\)
Ejercicio 2: (2 ptos)
Dada la función real de variable real\(\displaystyle f(x)=4x^3-3x^2-2x\)
a) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abcisa \(x=1\)
b) (1 pto) Calcúlese \(\displaystyle\int_2^3 f(x)dx\)
a) La ecuación de la recta tangente en \(x=1\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(1)=f'(1)(x-1)\)
Primeramente se calculará \(f(1)=4.1^3-3.1^2-2.1=-1\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=12x^2-6x-2\)
Luego, \(f'(1)=4\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(\bbox[yellow]{y+1=4(x-1)}\)
b) Recordando cómo se resuelven integrales definidas y consultando también la tabla de integrales, se tiene el resultado
\(\displaystyle\int_2^3f(x)dx=\int_2^3 4x^3-3x^2-2xdx=x^4-x^3-x^2\Big|_2^3=\bbox[yellow]{41}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos)
Se considera la función real de variable real definida por
\(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\)
a) Determínense sus asíntotas
b) Determínense el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\)
a) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador se anula en \(x= 2\), éste será el punto de posibles asíntotas verticales
\(\lim\limits_{x\to 2^{-}}\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{0^{-}}=-\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{0^{+}}=+\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=2}\) será una asíntota vertical
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x-2}=\pm\infty\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay horizontales }}\)
. Asintótas oblicuas:
Las posibles asíntotas oblicuas tendrían la siguiente expresión \(y=mx+n\)
Con \(m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^2}{x-2}}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^3-2x}=1\)
Y \(n=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(\frac{x^2}{x-2}-x)=2\)
Luego, la recta \(\bbox[yellow]{y=x+2}\) será asíntota oblicua
b) El dominio de una función racional es todos los números reales menos aquéllos que anulan el denominador, ver teoría sobre el dominio de una función
En este caso, el denominador se anula en \(x=2\), por lo tanto, \(\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus\{2\}}\)
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se deriva la función y se iguala a cero, consultar la teoría de máximos y mínimos
En este caso, recordando la tabla de derivadas, se obtiene
\(f'(x)=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}=0\Rightarrow x=0\) y \(x=4\)
Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos se estudia el signo de la derivada antes y después de dichos puntos
\(f'(x<0)>0\qquad\), \(f'(0<x<4)<0\qquad\),\(f'(x>4)>0\)
Luego, la función \(\bbox[yellow]{\hbox{crece en los intervalos }(-\infty,0)\cup (4,\infty)}\) y \(\bbox[yellow]{\hbox{decrece en el intervalo }(0,2)\cup (2,4)}\), ya que en el punto \(x=2\) la función no está definida (dicho punto no pertenece al dominio)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos)
Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas \(A\) y \(B\). La urna \(A\) contiene \(3\) bolas rojas y \(2\) negras; la urna \(B\) contiene \(2\) rojas y \(3\) negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es \(1\) ó \(2\) extraemos una bola de la urna \(A\); en caso contrario extraemos una bola de la urna \(B\)
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?
b) Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna \(A\)?
a) Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:
\(R\equiv\) Bola roja
\(N\equiv\) Bola negra
La probabilidad de que salga una bola roja será la probabilidad de que salga roja habiéndola sacado de la urna \(A\) más la probabilidad de que salga roja habiéndola sacado de la \(B\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(B)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=\frac 13.\frac 35+\frac 23.\frac 25=\bbox[yellow]{\frac{7}{15}}\)
b) La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada
\(P(A|R)=\frac{P(R|A)P(A)}{P(R)}=\frac{\frac 35\frac 13}{\frac{7}{15}}=\bbox[yellow]{\frac 37}\)
\[\]Ejercicio 5:(2 ptos)
El consumo mensual de leche (en litros) de los alumnos de un determinado colegio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma=3\) litros
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza \((16,33;\; 19,27)\) para estimar \(\mu\), con un nivel de confianza del \(95\)%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida
b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(64\). Calcúlese el erros máximo cometido en la estimación de \(\mu\) mediante la media muestral con un nivel de confianza del \(95\)%
a) El intervalo de confianza viene dado por la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), ver la tabla de la normal
Por lo tanto,
\((16,33;\; 19,27)\Rightarrow \bar{x}=\frac{16,33+19,27}{2}=17,8\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,47\)
Teniendo en cuenta que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\Rightarrow 1,47=1,96\frac{3}{\sqrt{n}}\Rightarrow\bbox[yellow]{n=16}\)
b) El error máximo permitido viene dado por la siguiente expresión, ver teoría de estadística
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\frac{3}{\sqrt{64}}\Rightarrow \bbox[yellow]{E=0,735}\)