Ejercicios de Sistemas de ecuaciones VI

Ejercicio 1: Expresar en forma matricial y resolver el sistema \(\displaystyle\begin{cases}x-2y+3z=&0\\2x+y-z=&-1 \\x-3y+2z=&2 \\\end{cases}\)

Expresando el sistema de manera matricial, ver cómo escribir sistemas en forma de matrices, se tiene

\(\begin{pmatrix}1 &-2&3\\ 2&1&-1\\ 1&-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\)

Llamando \(A\) a la matriz \(3\times 3\), \(X\) a \(\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}\) y \(B\) a \(\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\), se tiene la ecuación \(AX=B\)

Multiplicando a ambos lados del igual por la inversa de \(A\), \(A^{-1}\) (para poder despejar la incógnita \(X\)), ver cómo operar con matrices, se obtiene

\(A^{-1}AX=A^{-1}B\)

Sabiendo que \(A^{-1}A=I\), se concluye que \(X=A^{-1}B\)

De forma que para resolver el sistema es necesario calcular \(A^{-1}\) primeramente, ver cómo calcular la inversa de una matriz y cómo resolver determinantes,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & -3 \\2 & 1 & -1\\1 & -3 &2\end{array}=-12\)

La matriz de adjuntos de la matriz traspuesta de \(A\) será

\(Adj(A^T)=\begin{pmatrix}-1 &-5&-1\\ -5&-1&7\\ -7&1&5\end{pmatrix}\)

De manera que, utilizando la fórmula \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A^T)}{|A|}\), se tiene

\(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{12} &\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\\ \frac{5}{12}&\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\ \frac{7}{12}&-\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\end{pmatrix}\)

Y, por lo tanto la ecuación a resolver será,

\(X=\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{12} &\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\\ \frac{5}{12}&\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\ \frac{7}{12}&-\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\)

Multiplicando las matrices, ver cómo operar con matrices, se obtiene el resultado final \(\boxed{X=\begin{pmatrix}-\frac 14\\ -\frac 54\\ -\frac 34\end{pmatrix}}\)

Ejercicio 2: Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones \(\displaystyle\begin{cases}x+2y-3z=&3\\x-3z=&4 \\x+y-3z=&2 \\\end{cases}\)

Para estudiar la compatibilidad del sistema se estudia el rango de la matriz asociada al sistema y de la matriz ampliada, ver cómo se estudian los sistemas de ecuaciones y cómo resolver determinantes,

\(A=\begin{pmatrix}1 &2&-3\\ 1&0&-3\\ 1&1&-3\end{pmatrix}\;\) y \(\;\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &2&-3&3\\ 1&0&-3&4\\ 1&1&-3&2\end{pmatrix}\)

De forma que

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & -3 \\1 & 0 & -3\\1 & 1 &-3\end{array}=0\)

Luego, el Rango de \(A\) será menor o igual a dos

Como el menor \(\begin{array}{|crl|}2 & -3 \\0 & -3\end{array}\neq 0\), el Rango de \(A\) será dos

Para estudiar el rango de \(\bar{A}\) se toma por ejemplo el menor \(3\times 3\), \(\begin{array}{|crl|}2 & -3 & 3 \\0 & -3 & 4\\1 & -3 &2\end{array}=9\neq 0\)

Luego, como se ha encontrado un menos \(3\times 3\) contenido en \(\bar{A}\) cuyo determinante es distinto de cero, el Rango de \(\bar{A}\) será 3, luego \(Rg(A)\neq Rg(\bar{A})\), por lo que \(\boxed{\hbox{el sistema es incompatible}}\)

Ejercicio 3: Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones \(\displaystyle\begin{cases}3x-y+2z=&1\\x+y+z=&2 \\2x-2y+z=&-1 \\\end{cases}\)

Se consideran las matrices asociadas al sistema de ecuaciones

\(A=\begin{pmatrix}3 &-1&2\\ 1&1&1\\ 2&-2&1\end{pmatrix}\;\) y \(\;\bar{A}=\begin{pmatrix}3 &-1&2&1\\ 1&1&1&2\\ 2&-2&1&-1\end{pmatrix}\)

Calculando el determinante de la matriz \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(|A|=0\) y, calculando los determinantes de los menores \(3\times 3\) contenidos en \(\bar{A}\) se tiene también que son cero

Por otra parte, es posible encontrar un menor \(2\times 2\) en las dos matrices tal que
\(\begin{array}{|crl|}3 &-1\\ 1&1\end{array}\neq 0\)

De manera que, consultando el estudio sobre los rangos de las matrices, se tiene que \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2<\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible indeterminado}}\)

Las infinitas soluciones serán (dando un valor genérico a una de las variables y despejando las otras dos en función de ésta se pueden escribir las infinitas soluciones) \(\boxed{\displaystyle\begin{cases}x=&\dfrac{3-3t}{4}\\y=&\dfrac{5-t}{4} \\z=&t \\\end{cases}}\)

Ejercicio 4: Resolver el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer \(\displaystyle\begin{cases}x-3y+5z=&-24\\2x-y+4z=&-8 \\x+y=&9 \\\end{cases}\)

Para aplicar la Regla de Cramer primero se comprueba que el sistema es compatible determinado (se comprueba que hay solución del sistema), ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & 5 \\2 & -1 & 4\\1 & 1 &0\end{array}=-1\neq 0\)

Luego, \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\hbox{el sistema es compatible determinado}\)

Para calcular su solución utilizando la Regla de Cramer se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-24 & -3 & 5 \\-8 & -1 & 4\\9 & 1 &0\end{array}=-7\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -24 & 5 \\2 & -8 & 4\\1 & 9 &0\end{array}=-2\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & -24 \\2 & -1 & -8\\1 & 1 &9\end{array}=5\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\dfrac{|A_x|}{|A|},\dfrac{|A_y|}{|A|},\dfrac{|A_z|}{|A|})=\boxed{(7,2,-5)}\)

 

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