\[\]Ejercicio 1: Hallar el dominio de las siguientes funciones
a) \(f(x)=\frac{3}{2x-6}\)
b) \(f(x)=\sqrt{2x-8}\)
c) \(f(x)=\frac{4x-2}{x^2-9}\)
d) \(f(x)=\sqrt[3]{2x+7}\)
e) \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)
En una función del tipo cociente, el dominio serán todos los números reales menos aquéllos que hagan el denominador igual a cero
En el caso de las funciones radicales, el dominio serán todos los números reales excepto aquéllos que hacen el argumento de la raíz negativo
Para repasar toda la teoría sobre dominio, consultar el apartado de dominio de funciones
a) \(f(x)=\frac{3}{2x-6}\)
Como se trata de una función racional o de tipo cociente, es necesario comprobar para qué valores de la \(x\) se anula el denominador
\(2x-6=0\Rightarrow x=3\Rightarrow\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus\{3\}}\)
b) \(f(x)=\sqrt{2x-8}\)
En este caso, al tratarse de una función radical, se mirarán los valores de la \(x\) que hagan negativo el argumento de la raíz
\(2x-8<0\Rightarrow x<4\Rightarrow\bbox[yellow]{D=[4,\infty)}\)
c) \(f(x)=\frac{4x-2}{x^2-9}\)
De nuevo, al ser una función racional, se comprobará para qué valores de la \(x\) el denominador se hace cero
\(x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3\Rightarrow\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus\{\pm 3\}}\)
d) \(f(x)=\sqrt[3]{2x+7}\)
En este caso, al ser una raíz cúbica, el dominio serán todos los números reales, ya que el argumento puede ser negativo
\(\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}}\)
e) \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)
Al ser una raíz cuadrada, el dominio serán todos los reales excepto aquéllos que hacen el argumento de la raíz negativo
\(x^2-4<0\Rightarrow x<\pm 2\Rightarrow\bbox[yellow]{D=(-\infty, -2]\cup [2,\infty)}\)
Ejercicio 2: Dadas las funciones \(f(x)=x^2+1\) y \(g(x)=x^3\). Hallar
a) \(4f(x)\)
b) \(f(x)+g(x)\)
c) \(f(x)\cdot g(x)\)
d) \(4f(x)\cdot 5\)
e) \((f(x)+g(x))(-2)\)
Una constante por una función es igual a la todos los elementos de dicha función multiplicados por la constante
Repasar cómo se multiplican potencias de la misma base
a) \(4f(x)=4(x^2+1)=\bbox[yellow]{4x^2+4}\)
b) \(f(x)+g(x)=x^2+1+x^3=\bbox[yellow]{x^3+x^2+1}\)
c) \(f(x)\cdot g(x)=(x^2+1)x^3=\bbox[yellow]{x^5+x^3}\)
d) \(4f(5)=4\cdot 5^2+4=\bbox[yellow]{104}\)
e) \((f+g)(-2)=(-2)^3+(-2)^2+1=-8+4+1=\bbox[yellow]{-3}\)
\[\] Ejercicio 3: Hallar el dominio de las siguientes funciones
a) \(f(x)=x^2+2x+1\)
b) \(f(x)=\frac{6}{x^2+3}\)
c) \(f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}\)
d) \(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-2}\)
e) \(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\)
Repasar el apartado de dominio de funciones
a) \(f(x)=x^2+2x+1\)
Como se trata de un polinomio, el dominio serán todos los números reales, \(\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}}\)
b) \(f(x)=\frac{6}{x^2+3}\)
La función es del tipo cociente, por lo tanto, el dominio serán todos los números reales menos aquéllos que hagan el denominador igual a cero
\(x^2+3=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{-3}\Rightarrow\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}}\)
c) \(f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}\)
Se trata de una función radical, así que el dominio serán todos los números reales excepto aquéllos que hacen el argumento de la raíz negativo
Recordar en este caos también cómo se resuelve una ecuación de segundo grado
\(x^2-6x+8<0\Rightarrow x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2}=\frac{6\pm 2}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus \{2,-1\}}\)
e) \(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\)
De nuevo, el dominio serán todos los números reales excepto los que hacen el denominador igual a cero, es decir
\(x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}}\)