Ejercicio :(Septiembre 2012 Opción A)(Calificación: 2 ptos) Se dan la recta \(r\) y el plano \(\pi\), mediante
\(r\equiv\frac{x-4}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{3}\) y \(\pi: 2x+y-2z-7=0\)
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno
Escribiendo la recta en coordenadas paramétricas se tiene
\(\begin{cases}x=&4+2\lambda\\y=&1-\lambda \\z=&2+3\lambda \\\end{cases}\)
Consultando la fórmula de la distancia de un punto a un plano y tomando como punto \(P\) las coordenadas paramétricas halladas de \(r\), se tiene
\(d(P,\pi)=\frac{|2(4+2\lambda)+(1-\lambda)-2(2+3\lambda)-7|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=1\Rightarrow\lambda=-\frac 53\) y \(\lambda=\frac 13\)
Por lo que los puntos pedidos serían \(\bbox[yellow]{A(\frac 23,\frac 83, -3)\;\hbox{y }B(\frac{14}{3},\frac 23,3)}\)
Ejercicio :(Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos) Dado el punto \(P(2,1,-1)\), se pide:
a) (0,5 ptos) Hallar el punto \(P’\) simétrico de \(P\) respecto del punto \(Q(3,0,2)\)
b) (1,25 ptos) Hallar el punto \(P»\) simétrico de \(P\) respecto de la recta \(r\equiv x-1=y-1=z\)
c) (1,25 ptos) Hallar el punto \(P»’\) simétrico de \(P\) respecto del plano \(\pi: x+y+z=3\)
a) EL simétrico de un punto respecto de otro se obtiene por la definición de punto medio, ver cómo se obtiene el simétrico de un punto
Si \(P’\) es el simétrico de \(P\) respecto de \(Q\), éste último será el punto medio del segmento \(\vec{P’P}\), es decir
\(Q(q_1,q_2,q_3)=\big(\frac{p_1+p_1′}{2},\frac{p_2+p_2′}{2},\frac{p_3+p_3′}{2}\big)\)
Igualando las coordenadas y sabiendo los datos de \(P\) y de \(Q\), se tiene que \(\bbox[yellow]{P'(4,-1,5)}\)
b) El simétrico de \(P\) respecto de una recta \(r\) se calcula como simétrico de \(P\) respecto de \(M\), siendo \(M\) la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\), ver cómo se calcula el simétrico respecto de una recta
Primeramente se calcula el plano \(\pi’\), perpendicular a la recta \(r\)
\(\begin{cases}\vec{n’}=&(1,1,1)\\P=&(2,1,-1)\\\end{cases}\)
Todo punto \(A(x,y,z)\) de \(\pi\) debe cumplir \(\vec{PA}.\vec{n’}=0\)
En este caso, \((x-2,y-1,z+1).(1,1,1)=0\Rightarrow\pi\equiv x+y+z-2=0\)
Una vez conocido \(\pi\), se calcula la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(\pi\), \(M\), como la intersección de la recta \(r\) y el plano \(\pi’\),
\(\begin{cases}\begin{cases}x=&1+\lambda\\y=&1+\lambda\\z=&\lambda\\\end{cases}\\\pi:x+y+z-2=0&\\\end{cases}\)
Sustituyendo \(r\) en \(\pi\) se obtiene \(\lambda=0\). Incluyendo este valor en las ecuaciones de \(r\), se tiene el punto \(M\): \(M(1,1,0)\)
Sabiendo este punto se calcula \(P»\) como simétrico de \(P\) respecto de \(M\):
\(M=\big(\frac{x_p+x_{p»}}{2},\frac{y_p+y_{p»}}{2},\frac{z_p+z_{p»}}{2}\big)\)
Igualando las coordenadas, se tiene \(\bbox[yellow]{P»(0,1,1)}\)
c) \(P»’\) se calculará como simétrico de \(P\) respecto de \(M’\), ver cómo calcular el simétrico respecto de un plano
\(M’\) se calculará como intersección de l recta \(s\) y el plano \(\pi\), con \(s\) la recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\),
\(\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=(1,1,1)&\\P(2,1,-1)\in r&\\\end{cases}\Rightarrow s\equiv\begin{cases}x=&2+\lambda\\y=&1+\lambda\\z=&-1+\lambda\\\end{cases}\)
Sustituyendo \(s\) en \(\pi\) se obtiene \(\lambda=\frac 13\). Incluyendo este valor obtenido en \(s\), se halla el punto \(M’\) buscado, \(M'(\frac 73,\frac 43, -\frac 23)\)
Sabiendo que \(M’\) era el punto medio del segmento \(\vec{PP»’}\) e igualando coordenadas, se calculará
\(M’\big(\frac{x_p+x_{p»’}}{2},\frac{y_p+y_{p»’}}{2},\frac{z_p+z_{p»’}}{2}\big)\Rightarrow\bbox[yellow]{P»'(\frac 83,\frac 53,-\frac 13)}\)