OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dado el punto \(P(2,1,-1)\), se pide:
a) (0,5 ptos) Hallar el punto \(P’\) simétrico de \(P\) respecto del punto \(Q(3,0,2)\)
b) (1,25 ptos) Hallar el punto \(P»\) simétrico de \(P\) respecto de la recta \(r\equiv x-1=y-1=z\)
c) (1,25 ptos) Hallar el punto \(P»’\) simétrico de \(P\) respecto del plano \(\pi: x+y+z=3\)
a) EL simétrico de un punto respecto de otro se obtiene por la definición de punto medio, ver cómo se obtiene el simétrico de un punto
Si \(P’\) es el simétrico de \(P\) respecto de \(Q\), éste último será el punto medio del segmento \(\vec{P’P}\), es decir
\(Q(q_1,q_2,q_3)=\big(\frac{p_1+p_1′}{2},\frac{p_2+p_2′}{2},\frac{p_3+p_3′}{2}\big)\)
Igualando las coordenadas y sabiendo los datos de \(P\) y de \(Q\), se tiene que \(\bbox[yellow]{P'(4,-1,5)}\)
b) El simétrico de \(P\) respecto de una recta \(r\) se calcula como simétrico de \(P\) respecto de \(M\), siendo \(M\) la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\), ver cómo se calcula el simétrico respecto de una recta
Primeramente se calcula el plano \(\pi’\), perpendicular a la recta \(r\)
\(\begin{cases}\vec{n’}=&(1,1,1)\\P=&(2,1,-1)\\\end{cases}\)
Todo punto \(A(x,y,z)\) de \(\pi\) debe cumplir \(\vec{PA}.\vec{n’}=0\)
En este caso, \((x-2,y-1,z+1).(1,1,1)=0\Rightarrow\pi\equiv x+y+z-2=0\)
Una vez conocido \(\pi\), se calcula la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(\pi\), \(M\), como la intersección de la recta \(r\) y el plano \(\pi’\),
\(\begin{cases}\begin{cases}x=&1+\lambda\\y=&1+\lambda\\z=&\lambda\\\end{cases}\\\pi:x+y+z-2=0&\\\end{cases}\)
Sustituyendo \(r\) en \(\pi\) se obtiene \(\lambda=0\). Incluyendo este valor en las ecuaciones de \(r\), se tiene el punto \(M\): \(M(1,1,0)\)
Sabiendo este punto se calcula \(P»\) como simétrico de \(P\) respecto de \(M\):
\(M=\big(\frac{x_p+x_{p»}}{2},\frac{y_p+y_{p»}}{2},\frac{z_p+z_{p»}}{2}\big)\)
Igualando las coordenadas, se tiene \(\bbox[yellow]{P»(0,1,1)}\)
c) \(P»’\) se calculará como simétrico de \(P\) respecto de \(M’\), ver cómo calcular el simétrico respecto de un plano
\(M’\) se calculará como intersección de l recta \(s\) y el plano \(\pi\), con \(s\) la recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\),
\(\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=(1,1,1)&\\P(2,1,-1)\in r&\\\end{cases}\Rightarrow s\equiv\begin{cases}x=&2+\lambda\\y=&1+\lambda\\z=&-1+\lambda\\\end{cases}\)
Sustituyendo \(s\) en \(\pi\) se obtiene \(\lambda=\frac 13\). Incluyendo este valor obtenido en \(s\), se halla el punto \(M’\) buscado, \(M'(\frac 73,\frac 43, -\frac 23)\)
Sabiendo que \(M’\) era el punto medio del segmento \(\vec{PP»’}\) e igualando coordenadas, se calculará
\(M’\big(\frac{x_p+x_{p»’}}{2},\frac{y_p+y_{p»’}}{2},\frac{z_p+z_{p»’}}{2}\big)\Rightarrow\bbox[yellow]{P»'(\frac 83,\frac 53,-\frac 13)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dada la función \(f(x)=x^2\sin x\), se pide:
a) (1 pto) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación \(f(x)=0\) tiene alguna solución en el intervalo abierto \((\frac{\pi}{2},\pi)\)
b) (1 pto) Calcular la integral de la función en el intervalo \([0,\pi]\)
c) (1 pto) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(y=f(x)\) en el punto \((\pi,f(\pi))\)
a) La función \(f(x)\) es el producto de dos funciones continuas en \(\mathbb{R}\) que son estrictamente positivas en el intervalo que da el ejercicio, de manera que la función \(\bbox[yellow]{\hbox{no se anula en }(\frac{\pi}{2},\pi)}\)
b) La integral se resolverá por partes, recordar cómo resolver una integral por partes, siendo
\(u=x^2\Rightarrow du=2xdx\quad\) y \(\quad dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x\),
De esta forma,
\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x) 2xdx \)
La integral obtenida no es inmediata, de forma que se vuelve a utilizar el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso,
\(u=x\Rightarrow du=dx\quad\) y \(\quad dv=\cos xdx\Rightarrow v=\sin x\)
Por lo tanto,
\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x) 2xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}+2\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin xdx\Big]\)
Consultando ahora la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx==-x^2\cos x+2x\sin x-2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}=(-\pi ^2\cos \pi +2\pi\sin \pi +2\cos \pi)-(-0^2\cos 0+2.0.\sin 0 +2\cos 0)=\bbox[yellow]{\pi ^2 -4}\)
c) La ecuación de la recta tangente en \(x=\pi\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(\pi)=f'(\pi)(x-\pi)\)
Y la ecuación normal será \(y-f(\pi)=\frac{-1}{f'(\pi)}(x-\pi)\)
Primeramente, se calculará el valor de la función en el punto pedido; \(f(\pi)=\pi^2\sin\pi=\pi^2\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x\Rightarrow f'(\pi)=2\pi\sin \pi +\pi^2\cos \pi=2\pi.0+\pi^2(-1)=-\pi^2\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(\bbox[yellow]{y=\frac{x}{\pi^2}-\frac{1}{\pi}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Sean \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\in\mathbb{R}^3\) vectores columna. Si
\(det(\vec{a},\vec{b},\vec{d})=-1\quad det(\vec{a},\vec{c},\vec{d})=3\quad det(\vec{b},\vec{c},\vec{d})=-2\)
Calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices:
a) (0,5 ptos) \(det(\vec{a},3\vec{d},\vec{b})\)
b) (0,75 ptos) \(det(\vec{a}-\vec{b},\vec{c},-\vec{d})\)
c) (0,75 ptos) \(det(\vec{d}+\vec{b},2\vec{a},\vec{b}-3\vec{a}+\vec{d})\)
a) Utilizando algunas propiedades de los determinantes, como por ejemplo que si en un determinante una fila está multiplicada por una constante, dicha constante sale fuera multiplicando al determinante, o que si se intercambian dos filas en un determinante, éste cambia de signo, ver propiedades de los determinantes
\(det(\vec{a},3\vec{d},\vec{b})=3det(\vec{a},\vec{d},\vec{b})=-3det(\vec{a},\vec{b},\vec{d})=-3(-1)=\bbox[yellow]{3}\)
b) Utilizando en este caso el hecho de que si una fila de un determinante puede descomponerse en suma o resta de dos términos, el determinante se puede escribir como suma o resta de dos determinantes, ver propiedades de los determinantes
\(det(\vec{a-b},\vec{c},\vec{-d})=det(\vec{a},\vec{c},\vec{-d})-det(\vec{b},\vec{c},\vec{-d})=(-1)det(\vec{a},\vec{c},\vec{d})-(-1)det(\vec{b},\vec{c},\vec{d})=-det(\vec{a},\vec{c},\vec{d})+det(\vec{b},\vec{c},\vec{d})=-3+(-2)=\bbox[yellow]{-5}\)
c) En este apartado se utilizará el hecho de que un determinante no varía si a una de sus filas se le suma o resta una combinación lineal de otra de sus filas, y si un determinante tiene dos filas (o columnas) proporcionales, el determinante será cero, ver propiedades de los determinantes
\(det(\vec{d}+\vec{b},2\vec{a},\vec{b}-3\vec{a}+\vec{d})=(C_3=C_3-C_1)=det(\vec{d}+\vec{b},2\vec{a},-3\vec{a})=\bbox[yellow]{0}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
\(\displaystyle\begin{cases}x-2z=&2\\ax-y+z=&-8 \\ 2x+az=&4\\\end{cases}\)
Se pide:
a) (1,5 ptos) Discutirlo según los valores de \(a\)
b) (0,5 ptos) Resolverlo para \(a=-5\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &0&-2\\ a&-1& 1\\ 2&0& a\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &0&-2&2\\ a&-1& 1&-8\\ 2&0& a&4\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=-a+0+0-(4+0+0)=0\Rightarrow a=-4\)
– Si \(a\neq -4, |A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -4}\)
– Si \(a=-4\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}0 &-2\\ -1& 1\end{array}=-2\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=-4\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-4,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=-5\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}x-2z=&2\\-5x-y+z=&8 \\2x-5z=&4\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=-a-4=1\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2 & 0 & -2 \\-8 & -1 & 1\\4 & 0 &-5\end{array}=2\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & -2 \\-5 & -8 & 1\\2 & 4 &-5\end{array}=-2\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 0 & 2 \\-5 & -1 & -8\\2 & 0 &4\end{array}=0\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(2,-2,0)}\)