Ejercicio :(Junio 2011 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
a) (1,5 ptos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas
\(r_1\equiv x=y=z\), \(r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\) y \(r_3\equiv\begin{cases}x=&0\\z=&0\\\end{cases}\)
con el plano \(\pi\equiv 2x+3y+7z=24\)
b) (1,5 ptos) Hallar la recta \(s\) que corta perpendicularmente a las rectas
\(r_4\equiv\frac{x+1}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-2}\) y \(r_5\equiv\frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-1}\)
a) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de
\(\frac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro
Para hallar los vértices \(A,B\hbox{ y }C\) se resuelven los siguientes tres sistemas, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(A:\begin{cases}r_1:&x=y=z\\\pi:&2x+3y+7z=24\\\end{cases}\Rightarrow A(2,2,2)\Rightarrow\vec{a}=\vec{OA}=(2,2,2)\)
\(B:\begin{cases}r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\\\pi:&2x+3y+7z=24\\\end{cases}\Rightarrow B(12,0,0)\Rightarrow\vec{b}=\vec{OB}=(12,0,0)\)
\(C:\begin{cases}r_2\equiv\begin{cases}x=&0\\z=&0\\\end{cases}\\\pi:&2x+3y+7z=24\\\end{cases}\Rightarrow C(0,8,0)\Rightarrow\vec{c}=\vec{OC}=(0,8,0)\)
Por lo tanto, consultando cómo resolver determinantes, se obtiene el resultado
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}2 &2&2\\ 12&0&0\\ 0&8&0\end{array}=\frac 16.192=\bbox[yellow]{32}\)
b) La perpendicular común a dos rectas se puede obtener como intersección de dos planos paralelos a la perpendicular común y cada uno de ellos ha de contener a una de las rectas
La dirección perpendicular común está representada por el vector \(\vec{v}\) y será el producto vectorial entre los vectores directores de ambas rectas
\(\vec{v}=(1,2,-2)\times (2,3,-1)=(4,-3,-1)\)
Los dos planos paralelos se construirán con un punto de cada recta, los vectores directores de las mismas y el vector obtenido \(\vec{v}\), ver cómo se construye un plano
\(\pi:\begin{array}{|crl|}x+1 &y-5&z+1\\ 1&2&-2\\ 4&-3&-1\end{array}=0\Rightarrow\pi: 8x+7y+11z-16=0\) y \(\sigma:\begin{array}{|crl|}x-0 &y+1&z-1\\ 2&3&-1\\ 4&-3&-1\end{array}=0\Rightarrow\sigma: 3x+y+9z-8=0\)
Una vez obtenidas las ecuaciones de los planes, la recta se determina resolviendo el sistema formado por ambos planos, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
Dejando la solución en función del parámetro \(\lambda\) (dado a la coordenada primera), se tiene el resultado pedido
\(\bbox[yellow]{s:\begin{cases}x=&\lambda\\y=&\frac{56-39\lambda}{52}\\z=&\frac{40-13\lambda}{52}\\\end{cases}}\)
Ejercicio :(Junio 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos) Dados los planos
\(\pi_1\equiv 2x+y-2z=1\;\;\), \(\;\pi_2\equiv x-y+2z=1\)
se pide:
a) (0,5 ptos) Estudiar su posición relativa
b) (1,5 ptos) En caso de que los planos sean paralelos, hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan
a)Si dos de los coeficientes de la ecuación general de ambos planos no son proporcionales (mirando la proporción entre coordenada y coordenada), los planos serán secantes, ver posición relativa entre dos planos
En este caso, \(\frac{2}{1}\neq\frac{1}{-1}=\frac{-2}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{Los planos son secantes}}\)
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta que determinarán los dos planos dados se obtendrán resolviendo el sistema siguiente, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(\bbox[yellow]{r:\begin{cases}2x+y-2z=&1\\x-y+2z=&1\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=&\frac 23\\y=&\frac 13+2\lambda\\z=&\lambda\\\end{cases}}\)
El vector director de la recta será \(\bbox[yellow]{\vec{v}=(0,2,1)}\), ver cómo hallar un vector director de una recta dada, y un punto de dicha recta será \(\bbox[yellow]{P(\frac 23,\frac 13,0)}\)
Ejercicio :(Junio 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
a) (0,75 ptos) Hallar la ecuación del plano \(\pi_1\) que pasa por los puntos \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\) y \(C(0,0,1)\)
b) (0,75 ptos) Hallar la ecuación del plano \(\pi_2\) que contiene al punto \(P(1,2,3)\) y es perpendicular al vector \(\vec{v}=(-2,1,1)\)
c) (0,5 ptos) Hallar el volumen del tetraedro de vértices \(A,B,C\) y \(P\)
a) Con los tres puntos dados es posible escribir la ecuación del plano pedido, ver cómo se construye un plano
\(\pi_2\equiv\frac x1+\frac y2+\frac z1=1\Rightarrow\bbox[yellow]{\pi_1\equiv 2x+y+2z-2=0}\)
b) El vector \(\vec{v}\) dado será el vector normal del plano pedido, luego su ecuación vendrá dada por, ver de nuevo cómo se construye un plano
\(\pi_2\equiv -2x+y+z+C=0\)
La constante \(C\) se obtiene sustituyendo el punto \(P\) en la ecuación del plano (ya que el enunciado dice que dicho punto pasa por el plano), es decir
\(-2.1+2+3+C=0\Rightarrow C=-3\Rightarrow\bbox[yellow]{\pi_2\equiv-2x+y+z-3=0}\)
c) El volumen de un tetraedro se calcula utilizando la siguiente fórmula que involucra el producto mixto entre vectores, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro
\(V=\frac 16|\vec{AP}(\vec{BP}\times\vec{CP})|\)
Calculando término a término, se tiene
\(\vec{AP}=(0,2,3)\), \(\vec{BP}=(1,0,3)\) y \(\vec{CP}=(1,2,2)\)
De esta forma, resolviendo un determinante se obtiene el resultado final, ver cómo resolver determinantes
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}0 &2&3\\ 1&0&3\\ 1&2&2\end{array}=\frac 86=\bbox[yellow]{\frac 43}\)