OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}3x+A&x\leq 3\\ -4+10x-x^2&x>3\\\end{cases}\)
se pide:
a) (1 pto) Hallar el valor de \(A\) para que la función sea continua. ¿Es derivable para ese valor de \(A\)?
b) (1 pto) Hallar los puntos en los que \(f'(x)=0\)
c) (1 pto) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de \(f(x)\) en el intervalo \([4,8]\)
a) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=3\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{+}}(3x+A)=9+A=f(3)\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}(-4+10x-x^2)=-4+10.3-3^2=17\)
Luego, para que la función sea continua en \(3\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(17=9+A\Rightarrow\bbox[yellow]{A=8}\)
Es decir, la función quedaría como
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}3x+8&x\leq 3\\ -4+10x-x^2&x>3\\\end{cases}\)
Para que la función sea derivable tiene que cumplirse que \(f'(3^{-})=f'(3^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}3&x\leq 3\\ 10-2x&x>3\\\end{cases}\)
Evaluando \(f'(3^{-})=f'(3^{+})\), se tiene que \(3=10-2.3\Rightarrow 3=4\Rightarrow\hbox{Imposible}\), luego, \(\bbox[yellow]{f(x) \hbox{ no es derivable en }3}\)
b) Como en el intervalo \(x\leq 3\) el valor de la derivada es \(3\), en ese intervalo nunca podrá ser cero \(f'(x)\), luego sólo hay que mirarlo en el intervalo restante para obtener el resultado
Si \(x>3\), \(10-2x=0\Rightarrow \bbox[yellow]{x=5}\)
c) Para calcular sus máximos y mínimos se iguala la derivada a cero, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función
En el apartado anterior se ha obtenido el punto crítico \(x=5\) que, evaluándolo en la función, se obtiene \(f(5)=21\).
La función es una parábola abierta, ver funciones elementales, por lo que su vértice (y su máximo absoluto) se alcanzará en \((5,21)\) y será \(\bbox[yellow]{21}\)
El mínimo absoluto se alcanzará en alguno de los extremos del intervalo \([4,8]\), evaluando la función en ambos valores, se tiene \(f(4)=20>12=f(8)\)
Luego, el mínimo absoluto se alcanzará en \((8,12)\) y será \(\bbox[yellow]{12}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
\(\displaystyle\begin{cases}3x+ay+4z=&6\\x+(a+1)y+z=&3 \\ (a-1)x-ay-3z=&-3\\\end{cases}\)
Se pide:
a) (2 ptos) Discutirlo según los valores de \(a\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=-1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}3 &a&4\\ 1&a+1& 1\\ a-1&-a& -3\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}3 &a&4&6\\ 1&a+1& 1&3\\ a-1&-a& -3&-3\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=-3a^2-8a-5=0\Rightarrow a=-1\) y \(a=-\frac 53\)
– Si \(a\neq -1,-\frac 53\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -1,-\frac 53}\)
– Si \(a=-1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}3 &-1\\ 1& 0\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-1,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(a=-\frac 53\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}3 &4\\ 1& 1\end{array}=-1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),
\(\begin{array}{|crl|}3 &4&6\\ 1& 1& 3\\ -\frac 83& -3& -3\end{array}=-4\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-\frac 53,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
b) Para \(a=-1\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}3x-y+4z=&6\\x+z=&3 \\-x+y-3z=&-3\\\end{cases}\)
Para resolverlo se da a una de las variables el valor \(\lambda\) y se despejan las otras dos, ver resolución de sistemas de ecuaciones
En este caso, \(\bbox[yellow]{\displaystyle\begin{cases}x=&3-\lambda\\y=&3+\lambda \\z=\lambda \\\end{cases}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Se dan la recta \(r\) y el plano \(\pi\), mediante
\(r\equiv\frac{x-4}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{3}\) y \(\pi: 2x+y-2z-7=0\)
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno
Escribiendo la recta en coordenadas paramétricas se tiene
\(\begin{cases}x=&4+2\lambda\\y=&1-\lambda \\z=&2+3\lambda \\\end{cases}\)
Consultando la fórmula de la distancia de un punto a un plano y tomando como punto \(P\) las coordenadas paramétricas halladas de \(r\), se tiene
\(d(P,\pi)=\frac{|2(4+2\lambda)+(1-\lambda)-2(2+3\lambda)-7|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=1\Rightarrow\lambda=-\frac 53\) y \(\lambda=\frac 13\)
Por lo que los puntos pedidos serían \(\bbox[yellow]{A(\frac 23,\frac 83, -3)\;\hbox{y }B(\frac{14}{3},\frac 23,3)}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Dadas las rectas
\(r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}\) y \(s:\begin{cases}x+y=&4\\2x+z=&4 \\\end{cases}\)
a) (1,5 ptos) Hallar la ecuación del plano que pasa por \(A(2,3,4)\) y es paralelo a las rectas \(r\) y \(s\)
b) (0,5 ptos) Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(B(4,-1,2)\) y es perpendicular al plano hallado anteriormente
Primeramente se escriben los vectores directores de las rectas dadas, ver cómo hallar el vector director de una recta
\(\vec{v_r}=(2,2,-2)\) y \(\vec{v_s}=(1,-1,-2)\)
Para hallar la ecuación del plano pedido es necesario tener dos vectores pertenecientes a dicho plano y un punto (el punto lo da el enunciado), por lo que el plano se generaría con los siguientes datos, ver cómo construir un plano
\(\pi:\begin{cases}A(2,3,4)&\\\vec{v_r}=(2,2,-2)&\\\vec{v_s}=(1,-1,-2)&\\\end{cases}\Rightarrow\pi:\begin{array}{|crl|}x-2 & y-3 & z-4 \\2 & 2 & -2\\1 & -1 &-2\end{array}=0\)
Consultando cómo resolver determinantes se obtiene la ecuación pedida \(\bbox[yellow]{\pi: 3x-y+2z-11=0}\)
b) El vector director de la recta pedida será el vector que caracteriza el plano hallado en el apartado anterior, ver vector característico de un plano
Es decir, la recta pedida se formará con \(s:\begin{cases}B(4,-1,2)&\\\vec{n}=(3,-1,2)&\\\end{cases}\)
y será, ver cómo formar una recta a partir de un vector y un punto \(\bbox[yellow]{s\equiv\frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2}}\)
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