\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-1}dx\)
Reescribiendo el denominador se obtiene,
\(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-1}dx=\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)(x+1)}dx\)
De manera que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)(x+1)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común agrupando términos:
\(A(x+1)+B(x-1)=1\Rightarrow x(A+B)=0\quad\hbox{y}\quad A-B=1\)
De forma que
\(A+B=0\quad\hbox{y}\quad A-B=1\)
Resolviendo el sistema se obtiene \(A=\frac 12\) y \(B=-\frac 12\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)(x+1)}dx=\displaystyle\int\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}dx\)
Sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)(x+1)}dx=\frac 12\ln (x-1)-\frac 12\ln (x+1)+C\)
Teniendo en cuenta además las propiedades de los logaritmos se llega al resultado,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 12\ln \big(\frac{x-1}{x+1}\big)+C}\)
Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{2}{x^2+x-2}dx\)
Igualando el polinomio del denominador a cero y resolviéndolo, ver cómo resolver polinomios, se obtiene
\(x^2+x-2=0\Rightarrow x=-2,\quad x=1\)
Así que la integral puede escribirse como
\(\displaystyle\int\frac{2}{x^2+x-2}dx=\displaystyle\int\frac{2}{(x+2)(x-1)}dx\)
De manera que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{2}{(x+2)(x-1)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-1)}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:
\(A(x-1)+B(x+2)=2\Rightarrow x(A+B)=0\quad\hbox{y}\quad -A+2B=2\)
De forma que resolviendo el sistema se obtiene
\(A=-\frac 23\) y \(B=\frac 23\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-1)}dx=\displaystyle\int\frac{-2}{3(x+2)}+\frac{2}{3(x-1)}dx\)
Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{-2}{3(x+2)}+\frac{2}{3(x-1)}dx=-\frac 23\ln (x+2)+\frac 23\ln (x-1)+C\)
Aplicando las propiedades de los logaritmos se llega al resultado,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 23\ln \big(\frac{x-1}{x+2}\big)+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+4x+3}dx\)
Igualando a cero el denominador y factorizándolo, ver cómo resolver polinomios, se obtiene,
\(\displaystyle x^2+4x+3=0\Rightarrow\quad x=-3\quad\hbox{y}\quad x=-1\)
De forma que la integral puede escribirse como,
\(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+4x+3}dx=\displaystyle\int\frac{x+1}{(x+1)(x+3)}dx\)
Así que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{x+1}{(x+1)(x+3)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+3)}dx\)
Se calcula el denominador común y se agrupan términos para hallar los parámetros \(A\) y \(B\),
\(A(x+1)+B(x+3)=x+1\Rightarrow x(A+B)=x\quad\hbox{y}\quad A+3B=1\)
De forma que
\(A+B=1\quad\hbox{y}\quad A=1-3B\)
Resolviendo el sistema se obtiene \(A=1\) y \(B=0\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+3)}dx=\displaystyle\int\frac{1}{x+3}dx\)
Consultando la tabla de integrales, se obtiene el resultado
\(\displaystyle\bbox[yellow]{\ln (x+3)+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{4x^2+2x-1}{x^3+x^2}dx\)
Reescribiendo el denominador, la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{4x^2+2x-1}{x^3+x^2}dx=\displaystyle\int\frac{4x^2+2x-1}{x^2(x+1)}dx\)
Igualando el polinomio del denominador a cero y resolviéndolo, ver cómo resolver polinomios, se obtienen las soluciones
\(x^2(x+1)=0\Rightarrow x=0\) (raíz doble) y \(x=-1\)
De manera que el denominador puede dividirse en tres fracciones, correspondiendo dos de ellas a la raíz \(x=0\) y la tercera a \(x=1\), ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{4x^2+2x-1}{x^2(x+1)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\), \(B\) y \(C\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:
\(Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2=4x^2+2x-1\Rightarrow x^2(A+C)=4x^2,\quad x(A+B)=2x\hbox{y}\quad B=-1\)
De forma que resolviendo el sistema se obtiene
\(A=3\), \(B=-1\) y \(C=1\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}dx=\displaystyle\int\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1}dx\)
Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{4x^2+2x-1}{x^2(x+1)}dx=3\ln x+\ln (x+1)+\frac{1}{x}+C\)
Aplicando las propiedades de los logaritmos se llega al resultado final,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\ln x^3(x+1)+\frac{1}{x}+C}\)