\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-4}dx\)
Reescribiendo el denominador se obtiene,
\(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-4}dx=\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)(x+2)}dx\)
De manera que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)(x+2)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+2)}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común agrupando términos:
\(A(x+2)+B(x-2)=1\Rightarrow x(A+B)=0\quad\hbox{y}\quad 2A-2B=1\)
De forma que resolviendo el sistema se obtiene \(A=\frac 14\) y \(B=-\frac 14\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)(x+2)}dx=\displaystyle\int\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4(x+2)}dx\)
Sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)(x+2)}dx=\frac 14\ln (x-2)-\frac 14\ln (x+2)+C\)
Teniendo en cuenta además las propiedades de los logaritmos se llega al resultado,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 14\ln \big(\frac{x-2}{x+2}\big)+C}\)
Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{1}{4x^2-9}dx\)
Igualando el polinomio del denominador a cero y resolviéndolo, ver cómo resolver polinomios, se obtiene
\(4x^2-9=0\Rightarrow x=\pm\frac 32\)
Así que la integral puede escribirse como
\(\displaystyle\int\frac{1}{4x^2-9}dx=\displaystyle\int\frac{1}{(x-\frac 32)(x+\frac 32)}dx\)
De manera que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{1}{4x^2-9}dx=\displaystyle\int\frac{A}{(x-\frac 32)}+\frac{B}{(x+\frac 32)}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:
\(A(x+\frac 32)+B(x-\frac 32)=2\Rightarrow x(A+B)=0\quad\hbox{y}\quad \frac 32(A-B)=1\)
De forma que resolviendo el sistema se obtiene
\(A=\frac 13\) y \(B=-\frac 13\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{(x-\frac 32)}+\frac{B}{(x+\frac 32)}dx=\displaystyle\int\frac{1}{3(x-\frac 32)}-\frac{1}{3(x+\frac 32)}dx\)
Teniendo en cuenta que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\bbox[yellow]{\frac 13\ln (x-\frac 32)-\frac 13\ln (x+\frac 32)+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{x^2-x}{x^2+x+1}dx\)
Dividiendo el polinomio del numerador entre el denominador se obtiene que \(\frac{x^2-x}{x^2+x+1}=1-\frac{2x+1}{x^2+x+1}\), de forma que la integral puede escribirse como
\(\displaystyle\int\frac{x^2-x}{x^2+x+1}dx=\displaystyle\int 1-\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx\)
Consultando la tabla de integrales, se obtiene el resultado
\(\displaystyle\bbox[yellow]{x-\ln (x^2+x+1)+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)(e^{x}+4)}dx\)
Haciendo en cambio de variable \(u= e^{x}\Rightarrow du=e^{x}dx\), la integral queda como
\(\displaystyle\int\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)(e^{x}+4)}dx=\displaystyle\int\frac{du}{(u-1)(u+4)}\)
De manera que la expresión puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{du}{(u-1)(u+4)}=\displaystyle\int\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+4}du\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:
\(A(u+4)+B(u-1)=1\Rightarrow u(A+B)=0,\quad\hbox{y}\quad 4A-B=-1\)
De forma que resolviendo el sistema se obtiene
\(A=-\frac 15\) y \(B=\frac 15\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+4}du=\displaystyle\int\frac{-1}{5(u-1)}+\frac{1}{5(u+4)}du=\displaystyle\int\frac{1}{5(1-u)}+\frac{1}{5(u+4)}du\)
Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{-1}{5(u-1)}+\frac{1}{5(u+4)}du=-\frac 15\ln (1-u)+\frac 15\ln (u+4)+C\)
Aplicando las propiedades de los logaritmos se llega al resultado final,
\(\displaystyle\int\frac{-1}{5(u-1)}+\frac{1}{5(u+4)}du=\displaystyle\frac 15\ln \big(\frac{u+4}{1-u}\big)+C\)
Deshaciendo el cambio de variable \(u=e^{x}\), quedaría
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 15\ln \big(\frac{e^{x}+4}{e^{x}-1}\big)+C}\)