\[\]Ejercicio 1: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int (x^3-7x)^4(3x^2-7)dx\)
Para resolver la integral se busca una función y algo similar a su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En este caso \(y=x^3-7x\), y \(dy=3x^2-7 dx\), por lo que la integral quedaría
\(\displaystyle\int (x^3-7x)^4(3x^2-7)dx=\displaystyle\int y^4dy\)
Mirando en la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int y^4dy=\frac{y^5}{5}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=x^3-7x\), queda
\(\bbox[yellow]{\frac{(x^3-7x)^5}{5}+C}\)
Ejercicio 2: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \sqrt{2x^2-1}xdx\)
Reescribiendo primeramente la integral, se obtiene
\(\displaystyle\int (2x^2-1)^{\frac 12}xdx\)
Para hallar el resultado se busca una función y su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En particular, en la integral se puede identificar \(y=2x^2-1\), y \(dy=4x dx\), por lo que la integral quedaría
\(\displaystyle\int (2x^2-1)^{\frac 12}xdx=\displaystyle\int y^{\frac 12}\frac{dy}{4}\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int y^{\frac 12}\frac{dy}{4}=\frac{1}{4}\frac{y^{\frac 32}}{\frac 32}+C=\frac{\sqrt{y^3}}{6}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=2x^2-1\), queda
\(\bbox[yellow]{\frac{\sqrt{(2x^2-1)^3}}{6}+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
Para resolver la integral se busca una función y su derivada en la expresión y se llama \(y\) a dicha función, ver cómo resolver integrales por sustitución
En este ejercicio \(y=1-x^2\), y, por tanto, \(dy=-2x dx\), por lo que quedaría
\(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int \frac{-\frac{1}{2}}{y^{\frac 12}}dy\)
Mirando la tabla de integrales, en concreto, cómo integrar potencias de funciones, se calcula la integral;
\(\displaystyle\int \frac{-\frac{1}{2}}{y^{\frac 12}}dy=-\frac{1}{2}\frac{y^{\frac 12}}{\frac 12}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=1-x^2\), queda
\(\bbox[yellow]{-\sqrt{y}+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \sin x\cos xdx\)
En este caso, cualquiera de las dos funciones que aparecen en la integral pueden actuar como derivada de la otra (aunque en uno de los dos casos con un signo menos), de forma que cualquiera de las dos puede sustituirse por \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En particular, \(y=\sin x\), \(dy=\cos x\), ver tabla de derivadas, por lo que la integral quedaría
\(\displaystyle\int \sin x\cos xdx=\displaystyle\int y dy\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int y dy=\frac{y^{2}}{2}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=\sin x\), queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{\sin ^2x}{2}+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}dx\)
Para resolver la integral se busca una función y su derivada en la expresión y se llama \(y\) a dicha función, ver cómo resolver integrales por sustitución
En este caso como \((1+\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), identificando \(y=1+\sqrt{x}\), y, por tanto, \(dy=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\), se obtendría
\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}dx=\displaystyle\int 2(y)^{-2}dy\)
Mirando la tabla de integrales, en concreto, cómo integrar potencias de funciones, se calcula;
\(\displaystyle\int 2(y)^{-2}dy=-\frac{2}{y}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=1+\sqrt{x}\), queda
\(\bbox[yellow]{-\displaystyle\frac{2}{1+\sqrt{x}}+C}\)
\[\] Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int x\sin x^2dx\)
Para hallar el resultado se busca una función y su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En particular, en este caso \(y=x^2\), y \(dy=2x dx\), por lo que la integral quedaría \(\displaystyle\int \sin ydy\)
Consultando en la tabla de integrales cómo integrar funciones trigonométricas, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int \sin ydy=-\frac 12\cos y+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=x^2\), queda
\(\bbox[yellow]{-\frac 12\cos x^2+C}\)
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