\[\]Ejercicio 1: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int e^{x}(x^2+1)dx\)
En la expresión no aparece una función y su derivada y no es de tipo racional ni puede simplificarse, por lo que la integral se resuelve por partes.
Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=x^2+1,\; du=2xdx\) y \(dv= e^{x},\; v=e^{x}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, quedaría,
\(\displaystyle\int e^{x}(x^2+1)dx=(x^2+1)e^{x}-\int e^{x}2xdx\)
La integral resultante no es directa así que debe repetirse el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso \(u=2x,\; du= 2dx\) y \(dv=e^{x},\; v=e^{x}\), quedando
\(\displaystyle (x^2+1)e^{x}-\int e^{x}2xdx=(x^2+1)e^{x}-2xe^{x}+\int 2e^{x}dx\)
Consultando en la tabla de integrales la integral de una exponencial, se obtiene
\((x^2+1)e^{x}-2xe^{x}+\int 2e^{x}dx=(x^2+1)e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C=e^{x}(x^2+1-2x+2)+C\)
De manera que agrupando términos el resultado queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle e^{x}(x^2-2x+3)+C}\)
Ejercicio 2: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^3+x^2}dx\)
Igualando a cero el denominador y el numerador y factorizándolos, ver cómo resolver polinomios, se obtiene,
\(\displaystyle x^3+x^2=0\Rightarrow\quad x=0\) (raíz doble) y \(x=-1\), el numerador puede escribirse como \(\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)\)
De forma que la integral puede escribirse como,
\(\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^3+x^2}dx=\displaystyle\int\frac{(x-1)(x+1)}{x^2(x+1)}dx=\displaystyle\int\frac{x-1}{x^2}dx\)
Así que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{x-1}{x^2}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}dx\)
Se calcula el denominador común y se agrupan términos para hallar los parámetros \(A\) y \(B\),
\(Ax+B=x-1\Rightarrow A=1\quad\hbox{y}\quad B=-1\)
De forma que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}dx=\displaystyle\int\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}dx\)
Sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales y consultando la tabla de integrales, se tiene
\(\displaystyle\bbox[yellow]{\ln x+\frac{1}{x}+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x}{e^{x}}dx\)
En la integral no aparece una función y su derivada, la expresión no es racional y es simplificable, por lo que el procedimiento para resolverla será por partes.
Para resolver una integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=x,\; du=dx\) y \(dv=\frac{1}{e^{x}},\; v=-\frac{1}{e^{x}}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una exponencial, quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{x}{e^{x}}dx=\displaystyle -\frac{x}{e^{x}}+\int\frac{1}{e^{x}}dx=\displaystyle -\frac{x}{e^{x}}-\frac{1}{e^{x}}+C\)
De manera que sumando las fracciones, quedaría
\(\bbox[yellow]{\displaystyle -\frac{x+1}{e^{x}}+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x^3}{x^2+1}dx\)
Dividiendo el polinomio del numerador entre el del denominador se obtiene que la integral puede escribirse como
\(\displaystyle\int\frac{x^3}{x^2+1}dx= \displaystyle\int x-\frac{x}{x^2+1}dx\)
Sabiendo que la suma de integrales es la integral de la suma, ver propiedades de las integrales, y mirando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac 12\ln (x^2+1)+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^3+x}dx\)
Se reescribe el denominador como \(x(x^2+1)\). Este polinomio no puede factorizarse más ya que \(x^2+1\) no tiene raíces reales. De esta manera la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^3+x}dx=\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x(x^2+1)}dx\)
De manera que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x(x^2+1)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{Bx}{x^2+1}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial, despejando los parámetros:
\(A(x^2+1)+Bx^2=x^2-1\Rightarrow A=-1,\quad B=2\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{Bx}{(x^2+1)}dx=\displaystyle\int\frac{-1}{x}+\frac{2x}{(x^2+1)}dx\)
Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y con ayuda de la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{-1}{x}+\frac{2x}{(x^2+1)}dx=-\ln x+\ln (x^2+1)+C=-(\ln x-\ln (x^2+1))+C\)
Aplicando las propiedades de los logaritmos se llega al resultado final,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle -\ln \big(\frac{x}{x^2+1}\big)+C}\)