Ejercicios de Límites I

Ejercicio 1: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{x^2-4}{x+2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{0}{0}\)

De manera que se tiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolverla, se resuelve el polinomio del numerador igualándolo a cero y se factoriza (se expresa como producto de sus raíces) (Ver cómo resolver límites),

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{x^2-4}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}x-2\)

Así que sustituyendo \(x\) por \(-2\) se obtiene el resultado final,

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to -2}x-2=\boxed{-4}\)

Ejercicio 2: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to -5}\frac{x^2+4x-5}{x+5}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -5}\frac{x^2+4x-5}{x+5}=\frac{0}{0}\)

Se tiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para hallar el límite, se resuelve el polinomio del numerador (igualándolo a cero, Ver cómo resolver límites) y se factoriza (se expresa como producto de sus raíces, ver resolución de polinomios),

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -5}\frac{x^2+4x-5}{x+5}=\lim\limits_{x\to -5}\frac{(x-1)(x+5)}{x+5}=\lim\limits_{x\to -5}x-1\)

Sustituyendo \(x\) por \(-5\) se obtiene el resultado final,

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to -5}x-1=\boxed{-6}\)

 

Ejercicio 3: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to -3}\frac{x^3+27}{x+3}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -3}\frac{x^3+27}{x+3}=\frac{0}{0}\)

Teniendo una indeterminación (ver indeterminaciones). Al ser el orden del polinomio del numerador mayor que el del numerador, se divide el polinomio del numerador entre el del denominador (ver cómo resolver límites), obteniendo (en este caso el resto de la división es cero),

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -3}\frac{x^3+27}{x+3}=\lim\limits_{x\to -3}x^2-3x+9\)

Sustituyendo \(x\) por \(-3\) se obtiene el resultado final,

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to -5}x^2-3x+9=\boxed{27}\)

Ejercicio 4: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{x^2+x-2}{x^2-4}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{x^2+x-2}{x^2-4}=\frac{0}{0}\)

Queda una indeterminación (ver indeterminaciones). Se igualan el polinomio del numerador y el del numerador a cero y se resuelven (ver la teoría de resolución de límites), obteniendo,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{x^2+x-2}{x^2-4}=\lim\limits_{x \to -2}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+2)}=\lim\limits_{x \to -2}\frac{x-1}{x-2}\)

Sustituyendo \(x\) por \(-2\) se obtiene el resultado final,

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to -2}\frac{x-1}{x-2}=\boxed{\frac{3}{4}}\)

Ejercicio 5: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{5x+7}{18x-2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{5x+7}{18x-2}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se divide entre la potencia máxima de la \(x\) (en este caso entre \(x\)) (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{5x+7}{18x-2}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{\frac{5x}{x}+\frac{7}{x}}{\frac{18x}{x}-\frac{2}{x}}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{5x+7}{18x-2}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{5+\frac{7}{x}}{18-\frac{2}{x}}=\boxed{\frac{5}{18}}\)

 

Ejercicio 6: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{7x^4+1}{x-2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{7x^4+1}{x-2}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se divide el polinomio de arriba entre el de abajo (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{7x^4+1}{x-2}=\lim\limits_{x \to\infty}7x^3+14x^2+28x+56+\frac{113}{x-2}\)

Teniendo en cuenta que la suma de los límites es el límite de la suma (ver propiedades de los límites)

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}7x^3+14x^2+28x+56=\infty\quad\) y \(\quad\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{113}{x-2}=0\)

se tiene que,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{7x^4+1}{x-2}=\boxed{\infty}\)

Ejercicio 7: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^5+3x^3+2x+1}{x^2-1}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^5+3x^3+2x+1}{x^2-1}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver teoría sobre indeterminaciones). Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se divide el polinomio de arriba entre el de abajo (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^5+3x^3+2x+1}{x^2-1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}x^3+4x+\frac{6x+1}{x^2-1}\)

Teniendo en cuenta que la suma de los límites es el límite de la suma (ver algunas propiedades de los límites), y que

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}x^3+4x=\infty\quad\)

y utilizando dividiendo entre la máxima potencia de \(x\) (ver cómo resolver límites):

\(\quad\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6x+1}{x^2-1}=0\)

se tiene que,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^5+3x^3+2x+1}{x^2-1}=\boxed{\infty}\)

 

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