Ejercicios de Límites II

Ejercicio 8: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6x-5}{8x+2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6x-5}{8x+2}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6x-5}{8x+2}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6}{8}=\boxed{\frac{3}{4}}\)

Ejercicio 9: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{1}{2x+3}=\boxed{0}\)

Ejercicio 10: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{3x^{19}-16}{x^{11}+2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{3x^{19}-16}{x^{11}+2}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, simplificando y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{3x^{19}-16}{x^{11}+2}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{57x^{18}}{11x^{10}}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{57x^{8}}{11}=\boxed{\infty}\)

Ejercicio 11: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{5x}{x-2}+\frac{x}{x+2})\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{5x}{x-2}+\frac{x}{x+2})=\frac{\infty}{\infty}+\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver teoría sobre indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, simplificando y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{5x}{x-2}+\frac{x}{x+2})=\lim\limits_{x \to\infty}5+1=\boxed{6}\)

Ejercicio 12: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{7x^3}{x-2}+\frac{2x}{x+2})\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{7x^3}{x-2}+\frac{2x}{x+2})=\frac{\infty}{\infty}+\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, simplificando y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{7x^3}{x-2}+\frac{2x}{x+2})=\lim\limits_{x \to\infty}27x^2+2=\boxed{\infty}\)

Ejercicio 13: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\lim\limits_{x \to -1}\frac{2x-2}{1}=\boxed{-4}\)

Ejercicio 14: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}=\lim\limits_{x \to -1}\frac{\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}}{1}=\lim\limits_{x \to -1}\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}=\boxed{0}\)

Ejercicio 15: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\big(\frac{x^3+2}{x^3}\big)^{4x^3}\)

Reescribiendo el límite queda:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\lim\limits_{x \to \infty}(1+\ frac{2}{x^3})^{4x^3}\)

Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),

\[\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{2}{x^3})^{4x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\Big(\big(1+\dfrac{1}{\frac{x^3}{2}}\big)^{\frac{x^3}{2}}\Big)^{\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}}\]

Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\big(1+\dfrac{1}{\frac{x^3}{2}}\big)^{\frac{x^3}{2}}=e\quad\) y \(\quad\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}=8\)

se combinan ambos límites obteniendo que el resultado final es:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\boxed{e^8}\)

 

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