\[\] Ejercicio 8: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6x-5}{8x+2}\)
Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6x-5}{8x+2}=\frac{\infty}{\infty}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6x-5}{8x+2}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{6}{8}=\bbox[yellow]{\frac{3}{4}}\)
\[\] Ejercicio 9: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}\)
Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}=\frac{\infty}{\infty}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{1}{2x+3}=\bbox[yellow]{0}\)
\[\] Ejercicio 10: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{3x^{19}-16}{x^{11}+2}\)
Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{3x^{19}-16}{x^{11}+2}=\frac{\infty}{\infty}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, simplificando y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{3x^{19}-16}{x^{11}+2}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{57x^{18}}{11x^{10}}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{57x^{8}}{11}=\bbox[yellow]{\infty}\)
\[\] Ejercicio 11: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{5x}{x-2}+\frac{x}{x+2})\)
Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{5x}{x-2}+\frac{x}{x+2})=\frac{\infty}{\infty}+\frac{\infty}{\infty}\)
que es una indeterminación (ver teoría sobre indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, simplificando y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{5x}{x-2}+\frac{x}{x+2})=\lim\limits_{x \to\infty}5+1=\bbox[yellow]{6}\)
\[\] Ejercicio 12: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{7x^3}{x-2}+\frac{2x}{x+2})\)
Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{7x^3}{x-2}+\frac{2x}{x+2})=\frac{\infty}{\infty}+\frac{\infty}{\infty}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, simplificando y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{7x^3}{x-2}+\frac{2x}{x+2})=\lim\limits_{x \to\infty}27x^2+2=\bbox[yellow]{\infty}\)
\[\] Ejercicio 13: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}\)
Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\frac{0}{0}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\lim\limits_{x \to -1}\frac{2x-2}{1}=\bbox[yellow]{-4}\)
\[\] Ejercicio 14: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}\)
Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}=\frac{0}{0}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}=\lim\limits_{x \to -1}\frac{\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}}{1}=\lim\limits_{x \to -1}\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}=\bbox[yellow]{0}\)
\[\] Ejercicio 15: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\big(\frac{x^3+2}{x^3}\big)^{4x^3}\)
Reescribiendo el límite queda:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\lim\limits_{x \to \infty}(1+\ frac{2}{x^3})^{4x^3}\)
Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),
\[\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{2}{x^3})^{4x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\Big(\big(1+\frac{1}{\frac{x^3}{2}}\big)^{\frac{x^3}{2}}\Big)^{\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}}\]
Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\big(1+\frac{1}{\frac{x^3}{2}}\big)^{\frac{x^3}{2}}=e\quad\) y \(\quad\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}=8\)
se combinan ambos límites obteniendo que el resultado final es:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\bbox[yellow]{e^8}\)
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