Matrices

Definición

Una matriz es de la forma

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}\]

Dimensión de una matriz

Viene dada por \(m\times n\), siendo \(m\) el número de filas y \(n\) el número de columnas

Una matriz, \(A\), será igual a otra, \(B\), si todos sus elementos son iguales, es decir \(a_{ij}=b_{ij}\), para todo \(i,j\)

Traspuesta de una matriz

Se define como \(A^{t}\) \(=(b_{ij})\), con \(b_{ij}=a_{ji}\), es decir, se escriben las filas de la matriz \(A\) como las columnas en la matriz resultante \(A^{t}\)

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix}1&3&2\\ 2&1&4\\5&6&2\end{pmatrix}\Rightarrow A^{t}=\begin{pmatrix}1&2&5\\ 3&1&6\\2&4&2\end{pmatrix}\)

Matriz cuadrada

Cuya dimensión es \(n\times n\), es decir, tiene el mismo número de filas que de columnas

Algunos ejemplos:
\(A_{2\times 2}=\begin{pmatrix}2&3\\ 5&-1\end{pmatrix}\)

\(A_{4\times 4}=\begin{pmatrix}0&2&5&1\\ 1&-2&0&3\\-2&7&4&1\\3&-2&0&6\end{pmatrix}\)

Algunas matrices importantes

Matriz nula

Aquélla matriz que todos sus componentes son cero (tenga la dimensión que tenga)

Ejemplo:

\(A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)

\(A=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)

Matriz identidad (\(I\))

Los elementos de la diagonal principal de la matriz son unos, el resto de elementos son cero

Algunos ejemplos:

\(I_{2\times 2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

\(I_{4\times 4}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}\)

Menores de una matriz

El menor complementario al elemento \(a_{ij}\) de la matriz \(A\) se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\)

Ejemplo:

Sea la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&3&5&-1\\ 2&7&0&5\\1&-1&2&3\end{pmatrix}\), el menor complementario al elemento \(a_{12}=3\) será \(\begin{array}{|crl|}2&0&5\\1&2&3\end{array}\)

Rango de una matriz

Es el número de filas o columnas de la matriz linealmente independientes (que no son combinaciones lineales del resto de filas o columnas)

Algunos ejemplos:

El rango de \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) es \(1\), ya que la segunda fila es una combinación lineal de la primera (es dos veces la primera), de manera que hay una sóla fila linealmente independiente

El rango de \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\5&7&4\\3&0&-1\end{pmatrix}\) es \(3\) ya que las 3 filas (o las 3 columnas) son linealmente independientes

Para calcular el rango de una matriz se calcula su determinante, ver cómo calcular determinantes, y si es distinto de cero, el rango será el orden (dimensión) de la matriz

Si el determinante es cero, se buscan menores de la matriz cuyo determinante sea distinto de cero

Si el menor hallado de orden \(r\) tiene determinante no nulo y todos los menores de orden \(r+1\) son nulos, el Rango de la matriz \(A\) será \(r\)

El rango de una matriz es útil para estudiar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones, ver sistemas de ecuaciones y para estudiar la posición relativa entre rectas y planos, ver posiciones relativas

Adjuntos y Matriz adjunta

El adjunto \(A_{ij}\) del elemento \(a_{ij}\) es el determinante del menor complementario de \(a_{ij}\) multiplicado por \((-1)^{i+j}\)

Ejemplo:

Sea de nuevo la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&3&5&-1\\ 2&7&0&5\\1&-1&2&3\end{pmatrix}\)

el adjunto \(A_{12}\) del elemento \(a_{12}=3\) será

\((-1)^{2+1}\begin{array}{|crl|}2&0&5\\1&2&3\end{array}=(-1)\begin{array}{|crl|}2&0&5\\1&2&3\end{array}\)

La matriz adjunta de \(A\) es la matriz formada por los adjuntos de \(A\) y se escribe como \(Adj(A)\)

Ejemplo:

Sea la matriz \(A=\begin{pmatrix}2&0&1\\ 3&0&0\\5&1&1\end{pmatrix}\), su matriz adjunta será

\(Adj(A)=\begin{pmatrix}\begin{array}{|crl|}0&0\\1&1\end{array}&-\begin{array}{|crl|}3&0\\5&1\end{array}&\begin{array}{|crl|}3&0\\5&1\end{array}\\-\begin{array}{|crl|}0&1\\1&1\end{array}&\begin{array}{|crl|}2&1\\5&1\end{array}&-\begin{array}{|crl|}2&0\\5&1\end{array}\\\begin{array}{|crl|}0&1\\0&0\end{array}&-\begin{array}{|crl|}2&1\\3&0\end{array}&\begin{array}{|crl|}2&0\\3&0\end{array}\end{pmatrix}\)

Inversa de una matriz

La matriz inversa viene determinada como \(A^{-1}\) y verifica \(A.A^{-1}=A^{-1}.A=I\)

Para que una matriz tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero (es decir, la matriz tendrá rango máximo), ver cómo calcular determinantes y se calcula como

\(\boxed{A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}Adj(A)^{t}}\)

Operaciones con matrices

-La suma de dos matrices \(A\) y \(B\) será la suma de cada uno de sus elementos, es decir \(C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}\), con \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)

Ejemplo:

\(\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&1&3\\6&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&1&3\\ 0&-2&7\\1&8&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&2\\ 0&-1&10\\7&8&-6\end{pmatrix}\)

- El producto de una matriz por una constante es el producto de dicha constante por cada elemento de la matriz , es decir, \(kA_{m\times n}=C_{m\times n}\), con \(c_{ij}=ka_{ij}\)

Ejemplo:

\(3.\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&1&3\\6&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6&-3\\ 0&3&9\\18&0&0\end{pmatrix}\)

- Dos matrices \(A\) y \(B\) se pueden multiplicar si el número de columnas de \(A\) coincide con el número de filas de \(B\)

\(A_{m\times n} \times B_{n\times p} = C_{m\times p}\)

De esta forma, el elemento \(c_{ij}\) de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila \(i\) de la matriz \(A\) por cada elemento de la columna \(j\) de la matriz \(B\) y sumándolos

Ejemplo:

\(\begin{pmatrix}2&0&1\\ 3&0&0\\5&1&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1&0&1\\ 1&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1&2\\ 3&0&3\\7&3&6\end{pmatrix}\)

 

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