Ejercicios de Optimización II

 Ejercicio 1: Determinar los puntos de la curva \(y^2=2x\) que estén a distancia mínima del punto \((2,0)\)

Un punto genérico de la función sería \((x, \sqrt{2x})\).

La distancia de este punto al punto pedido \((2,0)\) será (ver cómo hallar la distancia de una función a un punto),

\(d=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{2x}-0)^2}=\sqrt{x^2-2x+4}\)

Para calcular los mínimos de esta función \(d(x)\), se calcula la primera derivada y se iguala a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas)

\(d'=\frac 12(x^2-2x+4)^{-\frac 12}(2x-2)=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+4}}=0\)

El punto que verifica la expresión anterior es \(x=1\).

Para ver si el punto es máximo o mínimo se evalúa el signo de la derivada antes y después de \(x=1\).

Si \(x<1\), \(d'(x)<0\) y si \(x>1\), \(d'(x)>0\), luego en \(x=1\) hay un mínimo que es lo que se pedía en el enunciado.

Calculando el valor de \(y\), se tiene

\(y=\pm\sqrt{2x}=\pm\sqrt{2}\)

De forma que el resultado es:

\(\boxed{(1,-\sqrt{2})\quad\hbox{y}\quad (1,\sqrt{2})}\)

 Ejercicio 2: Hallar los tres números (no tienen porqué ser enteros) tal que su resta sea \(4\), uno sea dos veces la suma de los otros dos y tal que su producto sea máximo

Del enunciado se obtienen las siguientes dos ecuaciones satisfechas por los tres números buscados, \(x,\;y,\;z\),

\(x-y-z=4,\quad x= 2(y+z)\)

siendo \(P(x,y,z)=xyz\) la función que se pide maximizar.

Incluyendo el valor de \(x\) que da la segunda ecuación en la primera, se obtiene

\(2y+2z-y-z=4\), por lo tanto, \(z=4-y\)

La función \(P(x,y,z)\) se puede escribir como

\(P(y)=2(y+4-y)y(4-y)=32y-8y^2\)

Para calcular el máximo de dicha función, se debe derivar \(P(x)\) e igualar a cero, (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas)

\(P'(y)=32-16y=0\)

Las solución de \(P'(y)=0\) es \(y=2\) (ver cómo resolver polinomios)

Para comprobar si en ese punto se alcanza un máximo o un mínimo de la función, se calcula la segunda derivada y se evalúa en ella el punto (ver cómo calcular máximos y mínimos);

\(P''(y)=-16\) y \(P''(2)<0\);

por lo que en \(y=2\) se alcanza un máximo

De manera que, sustituyendo el valor de la \(y\) en las ecuaciones del inicio, se hallan el valor de los otros dos números pedidos, siendo el resultado final:

\(\boxed{x=8,\quad y=2\quad z=2}\)

 

Ejercicio 3: Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus catetos vale \(16\) m.

Suponiendo los catetos del triángulo \(x\) e \(y\) y sabiendo que el área de un triángulo viene dada por (ver la expresión para el área de un triángulo):

\(S=\displaystyle\frac{xy}{2}\)

Sabiendo también que la suma de las longitudes de sus catetos es \(16\) m, se tiene

\(x+y=16\)

Despejando uno de los catetos,

\(y=16-x\)

Si se incluye este despeje en la expresión del área del triángulo, se obtiene;
\(S(x)=\displaystyle\frac{x(16-x)}{2}=\frac{16x-x^2}{2}\)

La función \(S(x)\) será de la que se pide encontrar un máximo, por lo que se debe derivar e igualar a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas),

\(S'(x)=\displaystyle 8-x=0\)

Despejando la \(x\) queda \(x=8\)

Para comprobar si en este punto se alcanza un máximo o un mínimo, se evalúa en la segunda derivada (ver cómo calcular máximos y mínimos);

\(S''(x)=\displaystyle -1\quad\hbox{y}\quad S''(8)<0\)

Así que en \(x=8\) se alcanza un máximo de la función \(S(x)\). El valor del otro cateto del triángulo con área máxima se calcula sustituyendo en el despeje del inicio,

\(y=16-x=16-8=8\)

De forma que el resultado final es:

\(\boxed{x=8,\;y=8\;y\;S=8u^2}\)

 

Ejercicio 4: Un número más el cuadrado de otro número suman \(96\). Hallar ambos números para que su producto sea máximo (los números no tienen porqué ser enteros)

Sean los números pedidos \(x\) e \(y\). La función que se pide maximizar es \(\displaystyle P(x,y)=xy\)

La información que da el enunciado puede expresarse con la siguiente ecuación:

\(\displaystyle x+y^2=96\)

Despejando el primer número de la ecuación, queda

\(x=96-y^2\)

Sustituyendo esta expresión en la función a maximizar se obtiene una función que depende sólo de una variable

\(P(y)=y(96-y^2)=96y-y^3\)

Para calcular el máximo de esta función, se halla la primera derivada y se iguala a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos)

\(P'(y)=96-3y^2=0\)

Por lo tanto, el valor de \(y\) que hace la derivada cero es \(y=\pm\sqrt{32}\).

Para comprobar si se trata e máximos o mínimos, se puede utilizar el criterio de la segunda derivada (ver cómo calcular máximos y mínimos), es decir, se evalúa el punto en la segunda derivada,

\(P''(y)=-6y\)

De forma que, \(P''(-\sqrt{32})>0\) y \(P''(\sqrt{32}<0)\), así que cuando \(y=-\sqrt{32}\) se tiene un mínimo y cuando \(y=\sqrt{32}\) se tiene un máximo.

La solución buscada es, por tanto,

\(\boxed{x=64,\quad y=\sqrt{32}}\)

 

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