Programación lineal y Optimización en Selectividad 2013

 

Ejercicio : (Junio 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se desea maximizar la función \(f(x)=64,8x+76,5y\) sujeta a las restricciones:

\(6x+5y\leq 700,\qquad\)\(2x+3y\leq 300,\qquad\)\(x\geq 0,\qquad\)\(y\geq 0\)

a) Represéntese gráficamente la región de soluciones factibles y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Determínese el valor máximo de \(f\) sobre la región, indicando el punto donde se alcanza dicho máximo

a) Para obtener los vértices de la región pedida, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, ver cómo resolver problemas de programación lineal y consultando cómo resolver sistemas de ecuaciones se obtiene el resultado

\(\displaystyle\begin{cases}6x+5y=&700\\2x+3y=&300\\\end{cases}\Rightarrow (75,50)\)

Sustituyendo ahora las otras inecuaciones \(x\geq 0\) y \(y\geq 0\) en el sistema, se obtienen todos los vértices de la región pedida \(\boxed{A(0,100),\;B(75,50),\;C(116,7, 0)\;y\;D(0,0)}\)

Y la región será

olvido1

b) Sustituyendo los valores de los vértices de la región obtenida en la función objetivo \(f(x,y)\), se obtienen los siguientes resultados

\(\displaystyle\begin{cases}f(0,100)=&7650\\f(75,50)=&8685\\f(116,7, 0)=&7562,16\\f(0,0)=&0\\\end{cases}\)

Luego, \(f(x,y)\) alcanza el valor máximo en el punto \(\boxed{B(75,50)\;\hbox{y vale }8685}\)

 

Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Sea \(C\) la región del plano delimitada por el sistema de ecuaciones

\(\begin{cases}x+3y\geq&3\\2x-y\leq&4\\2x+y\leq&24\\x\geq 0,&y\geq 0\\\end{cases}\)

a) Represéntese la región \(C\) y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Determínese el punto de \(C\) donde la función \(f(x,y)=3x+y\) alcanza su valor máximo. Calcúlese dicho valor

a) Para obtener los vértices de la región pedida, se resuelven las ecuaciones dos a dos, ver cómo resolver problemas de programación lineal y consultar cómo resolver sistemas de ecuaciones se obtiene el resultado

\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\2x+y=&24\\\end{cases}\Rightarrow A(0,24)\)

\(\displaystyle\begin{cases}2x-y=&4\\2x+y=&24\\\end{cases}\Rightarrow B(7,10)\)

\(\displaystyle\begin{cases}2x-y=&4\\x+3y=&3\\\end{cases}\Rightarrow C(\dfrac{15}{7},\dfrac 27)\)

y

\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\x+3y=&3\\\end{cases}\Rightarrow D(0,1)\)

De forma que los vértices de la región pedida serán \(\boxed{A(0,24),\;B(7,10),\;C(\dfrac{15}{7},\dfrac 27),\;y\;D(0,1)}\)
Como todos los puntos hallados cumplen \(y\geq 0\), dicha condición no es necesaria tenerla en cuenta para calcular dichos vértices

La región será

olvido2

2. Sustituyendo los valores de los vértices de la región obtenida en la función objetiva \(f(x,y)\), se obtienen los siguientes resultados

\(\displaystyle\begin{cases}f(0,24)=&24\\f(7,10)=&31\\f(\dfrac{15}{7},\dfrac 27)=&\dfrac{47}{7}\\f(0,1)=&1\\\end{cases}\)

Luego, \(f(x,y)\) alcanza el valor máximo en el punto \(\boxed{B(7,10)\;\hbox{y vale }31}\)

 

 

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