OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix}3 &2&0\\ 1& 0&-1\\ 1& 1&1\end{pmatrix}\)
a) Calcúlese \(A^{-1}\)
b) Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por \(A.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo, ver inversa de una matriz. En este caso
\(\begin{array}{|crl|}3 &2&0\\ 1& 0&-1\\ 1& 1&1\end{array}=0-2+2-(0+2-3)=-1\)
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}1 &-2&-2\\ -2& 3&3\\ 1& -1&-2\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 &2&2\\ 2& -3&-3\\ -1& 1&2\end{pmatrix}}\)
b) La ecuación tendrá solución cuando sea posible despejar \(X\), es decir, cuando \(A\) tenga inversa ya que denotando \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\), se tiene
\(AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B\), ver ecuaciones matriciales
Como en el apartado anterior se ha calculado la inversa, es posible calcular \(X\) en este caso consultando el apartado de cómo multiplicar matrices, se tiene
\(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-1 &2&2\\ 2& -3&-3\\ -1& 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}}\)
Ejercicio 2: (2 ptos) Se desea maximizar la función \(f(x)=64,8x+76,5y\) sujeta a las restricciones:
\(6x+5y\leq 700,\qquad\)\(2x+3y\leq 300,\qquad\)\(x\geq 0,\qquad\)\(y\geq 0\)
a) Represéntese gráficamente la región de soluciones factibles y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Determínese el valor máximo de \(f\) sobre la región, indicando el punto donde se alcanza dicho máximo
a) Para obtener los vértices de la región pedida, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, ver cómo resolver problemas de programación lineal y consultando cómo resolver sistemas de ecuaciones se obtiene el resultado
\(\displaystyle\begin{cases}6x+5y=&700\\2x+3y=&300\\\end{cases}\Rightarrow (75,50)\)
Sustituyendo ahora las otras inecuaciones \(x\geq 0\) y \(y\geq 0\) en el sistema, se obtienen todos los vértices de la región pedida \(\bbox[yellow]{A(0,100),\;B(75,50),\;C(116,7, 0)\;y\;D(0,0)}\)
Y la región será
b) Sustituyendo los valores de los vértices de la región obtenida en la función objetivo \(f(x,y)\), se obtienen los siguientes resultados
\(\displaystyle\begin{cases}f(0,100)=&7650\\f(75,50)=&8685\\f(116,7, 0)=&7562,16\\f(0,0)=&0\\\end{cases}\)
Luego, \(f(x,y)\) alcanza el valor máximo en el punto \(\bbox[yellow]{B(75,50)\;\hbox{y vale }8685}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Se considera la función real de variable real definida por \(\displaystyle 3e^{-2x}\)
a) (1 pto) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \(x=0\)
b) (1 pto) Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de \(f(x)\), las rectas \(x=0\) y \(x=0,5\) y el eje de abscisas
a) La ecuación de la recta tangente en \(x=0\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(0)=f'(0)(x-0)\)
Primeramente se calculará \(f(0)=3e^{-2.0}=3.1=3\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=3e^{-2x}(-2)=-6e^{-2x}\)
Luego, \(f'(0)=-6e^{-2.0}=-6\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-3=-6(x-0)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=-6x+3}\)
b) Para hallar el área pedida y teniendo en cuenta la gráfica de la función \(f(x)>0\), ver funciones elementales, se evaluará la integral de la función entre \(0\) y \(0,5\), ver cómo se calcula una integral definida y consultar también la tabla de integrales
\(\displaystyle A=\int_0^{0,5}3e^{-2x}dx=-\frac 32\displaystyle\int_0^{0,5}e^{-2x}(-2)dx=-\frac 32e^{-2x}\Big]_{0}^{0,5}=-\frac 32e^{-2.0,5}-(-\frac 32e^{-2.0})=\bbox[yellow]{\frac 32(1-\frac 1e)}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Al analizar las actividades de ocio de un grupo de trabajadores fueron clasificados como deportistas o no deportistas y como lectores o no lectores. Se sabe que el \(55\)% de los trabajadores se clasificaron como deportistas o lectores, el \(40\)% como deportistas y el \(30\)% como lectores. Se elige un trabajador al azar:
a) Calcúlese la probabilidad de que sea deportista y no sea lector
b) Sabiendo que el trabajador elegido es lector, calcúlese la probabilidad de que sea deportista
a) Primeramente se definen las variables a utilizar:
\(A\equiv\) Deportista y \(B\equiv\) Lector
Teniendo en cuenta los datos dados en el enunciado, se tiene
\(P(A\cup B)=0,55\)
\(P(A)=0,40\)
\(P(B)=0,30\)
La probabilidad pedida será la probabilidad de la intersección de que sea deportista y no sea lector (que ambas cosas sucedan a la vez), ver la teoría de la probabilidad
\(P(A\cap\bar{B})=P(A)-P(A\cap B)\)
La probabilidad de una intersección se obtiene a partir de la probabilidad de una unión:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\Rightarrow P(A\cap B)=0,40+0,30-0,55=0,15\)
Conociendo la intersección, es posible calcular el dato pedido
\(P(A\cap\bar{B})=0,40-0,15=\bbox[yellow]{0,25}\)
b) Suponiendo que el trabajador es lector, la probabilidad de que sea deportista será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,15}{0,30}=\bbox[yellow]{0,50}\)
\[\]Ejercicio 5: (2 ptos) El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil con la tarifa \(AA\) se puede aproximar por una distribución normal con media \(3,5\)Mb y desviación típica igual a \(1,4\)Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(49\)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a \(3,37\) Mb?
b) Supóngase ahora que la media poblacional es desconocida y que la media muestral toma el valor de \(3,42\) Mb. Obténgase un intervalo de ocnfianza al \(95\)% para la media de la población
Por los datos del enunciado, siendo \(X\) la variable que mide los Mb descargados mensualmente, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(3,5, 1.4)\), ver estadística
El ejercicio pide hallar la probabilidad de que la media sea inferior a \(3,37\), es decir, \(P(\bar{x}<3,37)\), para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(X\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)
De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma}\) y
\(P(\bar{x}<3,37)=P(z<\frac{3,37-3,5}{0,2})=P(z<-0,65)=P(z>0,65)=1-P(z\leq 0,65)\)
Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(\bar{x}<3,37)=0,2578}\)
b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(3,42-1,96\frac{1,4}{\sqrt{49}},3,42+1,96\frac{1,4}{\sqrt{49}})=\bbox[yellow]{(3,03, 3,81)}\)
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