Ejercicio : (Junio 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
En un tribunal de la prueba de acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado se han examinado \(80\) alumnos del colegio \(A\), \(70\) alumnos del colegio \(B\) y \(50\) alumnos del colegio \(C\). La prueba ha sido superada por el \(80\)% de los alumnos del colegio \(A\), el \(90\)% de los del colegio \(B\) y por el \(82\)% de los del colegio \(C\)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya superado la prueba?
b) Un alumno elegido al azar no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al colegio \(B\)?
a) Primeramente se definen las variables a utilizar:
\(A\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(A\)
\(B\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(B\)
\(C\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(C\)
\(S\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(S\)
Teniendo en cuenta los datos dados en el enunciado, se tiene
\(P(A)=\frac{80}{200}=0,4\)
\(P(B)=\frac{70}{200}=0,35\)
\(P(C)=\frac{50}{200}=0,25\)
\(P(S|A)=0,8\)
\(P(S|B)=0,9\)
\(P(S|C)=0,82\)
La probabilidad de que haya aprobado la prueba será la suma de las probabilidades siguientes: que haya aprobado viniendo del colegio \(A\), que haya aprobado viniendo del colegio \(B\) y que haya aprobado viniendo del colegio \(C\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(S)=P((A\cap S)\cup (B\cap S)\cup (C\cap S))=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)=\)
\(=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P({S}|C)=0,4.0,8+0,35.0,9+0,25.0,82=\bbox[yellow]{0,84}\)
b) Suponiendo que el alumno no ha superado la prueba, la probabilidad de que sea del colegio \(B\) será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,
\(P(B|\bar{S})=\frac{P(B\cap\bar{S})}{P(\bar{S})}=\frac{P(B)P(\bar{S}|B)}{1-P(\bar{S})}\)
Por otra parte, \(P(\bar{S}|B)=1-P(S|B)=1-0,9=0,1\)
Luego, \(P(B|\bar{S})=\frac{0,35.0,1}{1-0,84}=\bbox[yellow]{0,2187}\)
Ejercicio : (Junio 2012 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Sean dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:
\(P(A\cap B)=0,1\qquad\)\(\qquad P(\bar{A}\cap\bar{B})=0,6\qquad\)\(\qquad P(A|B)=0,5\qquad\)
Calcúlense
a) \(P(B)\)
b) \(P(A\cup B)\)
c) \(P(A)\)
d) \(P(\bar{B}|\bar{A})\)
a) Aplicando el Teorema de Bayes, ver probabilidad condicionada, se tiene
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Rightarrow P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A|B)}=\frac{0,1}{0,5}=\bbox[yellow]{0,2}\)
b) Aplicando en este caso las leyes de Morgan, se tiene
\(P(\bar{A}\cap\bar{B})=P(\bar{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\cap\bar{B})=1-0,6=\bbox[yellow]{0,4}\)
c) Con el dato obtenido en el apartado anterior se tiene el resultado en este caso
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(A)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(B)=0,4+0,1-0,2=\bbox[yellow]{0,3}\)
d) Utilizando nuevamente el Teorema de Bayes, se tiene
\(P(\bar{B}|\bar{A})=\frac{P(\bar{B}\cap \bar{A})}{P(\bar{A})}=\frac{P(\bar{A}\cap \bar{B})}{1-P(A)}=\frac{0,6}{1-0,3}=\bbox[yellow]{0,8571}\)