OPCIÓN B

\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dadas las funciones

\(f(x)=\frac{3x+\ln (x+1)}{\sqrt{x^2-3}}\quad\) \(\quad g(x)=(\ln x)^{x}\quad\) \(\quad h(x)=\sin (\pi -x)\)

Se pide

a) (1 pto) Hallar el dominio de \(f(x)\) y el \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\)
b) (1 pto) Calcular \(g'(e)\)
c) (1 pto) Calcular, en el intervalo \((0,2\pi)\), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de \(h(x)\)

a) El dominio de la función serán todos los números que hagan que el polinomio de dentro de la raíz sea positivo y distinto de cero (ya que en este caso, la raíz está en el denominador), además, hay que considerar sólo los puntos que hacen que el la función \(\ln (x+1)\) tenga sentido, ver dominio de una función

En este caso, \(x+1>0\qquad\hbox{y}\qquad x^2-3>0\Rightarrow x>-1\qquad\hbox{y}\qquad x>\pm\sqrt{3}\)

Evaluando la función antes y después de los valores obtenidos se tiene que antes de \(-\sqrt{3}\), el denominador tendrá sentido (ya que es estrictamente positivo), y después del valor \(\sqrt{3}\) el argumento de la raíz es, de nuevo, estrictamente positivo. De manera que, uniendo estos datos con \(x>-1\) se obtiene el resultado

\(D=(-1,\infty)\cap\{(-\infty,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},\infty)\}=\bbox[yellow]{(\sqrt{3},\infty)}\)

Por otra parte, \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+\ln (x+1)}{\sqrt{x^2-3}}=\frac{\infty}{\infty}\)

Se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite (ver cómo resolver límites), se utiliza la Regla de L’Hôpital (ver la Regla de L’Hôpital y la tabla de derivadas),

\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x+1}}{\frac{2x}{2\sqrt{x^2-3}}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x+1}}{\sqrt{\frac{1}{1-\frac{3}{x^2}}}}=\frac{3+0}{\sqrt{\frac{1}{1-0}}}=\bbox[yellow]{3}\)

b) Primero se deriva \(g(x)\) y luego se evalúa en el valor pedido. Consultando la tabla de derivadas, se obtiene

\(g'(x)=(\ln x)^{x}(\ln (\ln x)+\frac{1}{\ln x})\)

Evaluando ahora la derivada en el punto pedido, se tiene \(g'(e)=(\ln e)^{e}(\ln (\ln e)+\frac{1}{\ln e})=1^{e}(\ln 1+\frac 11)=\bbox[yellow]{1}\)

c) Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(h(x)=0\Rightarrow \sin (\pi -x)=0\Rightarrow x=\pi -\pi k\), para todo \(k\in\mathbb{Z}\)

Como está definida en el intervalo abierto \((0,2\pi)\), el único punto de cortes con el eje de abscisas es \(\bbox[yellow]{(\pi,0)}\)

Por otra parte, como \(h(0)=0\), se obtiene el punto de corte, \((0,0+2\pi k)\), con \(k\in\mathbb{Z}\), pero como se pide en el intervalo abierto \((0,2\pi)\), la función no corta al eje \(OY\) en ese intervalo

Para calcular los extremos relativos se derivará la función y se igualará a cero, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función

En este caso, \(h'(x)=0\Rightarrow -\cos (\pi -x)=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-\pi k\), para todo \(k\in\mathbb{Z}\)

Teniendo en cuenta el intervalo pedido, se tienen los puntos críticos: \(x=\frac{\pi}{2}\) y \(x=\frac{3\pi}{2}\)

Para saber si los valores obtenidos son máximos o mínimos se evaluarán en la segunda derivada,

\(h»(x)=-\sin (\pi -x)\Rightarrow h»(\frac{\pi}{2})=-\sin \frac{\pi}{2}=-1<0\Rightarrow\) en \(x=\frac{\pi}{2}\) hay un máximo \(h»(x)=-\sin (\pi -x)\Rightarrow h»(\frac{3\pi}{2})=-\sin \frac{-\pi}{2}=1>0\Rightarrow\) en \(x=\frac{3\pi}{2}\) hay un mínimo

De manera que, evaluando los valores críticos en la función \(h(x)\), el resultado sería \(\bbox[yellow]{(\frac{\pi}{2},1), (\frac{3\pi}{2},-1)}\)

Ejercicio 2: (3 ptos) Dadas las rectas

\(r_1\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z}{2}\)  y  \(\begin{cases}x=&-1-\lambda\\y=&3+\lambda \\z=&5\\\end{cases}\)
Se pide:

a) (1 pto) Estudiar su posición relativa
b) (2 pto) Hallar la mínima distancia de \(r_1\) a \(r_2\)

a) Para estudiar la posición relativa de dos rectas, se evalúa el determinante de la matriz formada por los vectores directores de las rectas y un vector formado por un punto de cada recta, ver posiciones relativas entre rectas y ver cómo obtener el vector director de una recta dada

En este caso

\(r_1:\begin{cases}A&(2,1,0)\\\vec{v}=&(3,-5,2)\\\end{cases}\) y \(r_2:\begin{cases}B&(-1,3,5)\\\vec{u}=&(-1,1,0)\\\end{cases}\)

Además, \(\vec{AB}=(-3,2,5)\). De forma que el determinante a estudiar será, ver cómo resolver determinantes

\(\begin{array}{|crl|}-3 & 2 & 5\\3 & -5 & 2\\-1 & 1 & 0\end{array}=-8\neq 0\Rightarrow\hbox{ el rango del determinante es tres}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{las rectas se cruzan pero no se cortan}}\)

b) La distancia mínima entre dos rectas que se cruzan pero no se cortan se calcula como, ver fórmulas de distancias,

\(d(r_1,r_2)=\frac{|\vec{AB}.(\vec{v}\times\vec{u})|}{|\vec{v}\times\vec{u}|}\)

El numerador se calcula como, ver cómo resolver determinantes

\(|\vec{AB}.(\vec{v}\times\vec{u})|=\begin{array}{|crl|}-3 & 2 & 5\\ 3 & -5 & 2\\ -1 & 1 & 0\end{array}=-8\)

Y consultando cómo se calcula un producto vectorial se obtiene el denominador \(\vec{v}\times\vec{u}=(-2,-2,-2)\)

De forma que \(d(r_1,r_2)=\frac{|-8|}{2\sqrt{3}}=\bbox[yellow]{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\)

 

\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Dadas las matrices:

\(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ -2&-1&0\\ 1&a&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}4&-1&1&-2\\ -2&-3&-7&-8\\ 3&2-a&3+a&3\end{pmatrix}\)

se pide:
a) (1 pto) Estudiar el rango de la matriz \(B\) en función de \(a\)
b) (1 pto) Para \(a=0\), calcular la matriz \(X\) que verifique \(AX=B\)

a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(B\) será tres, ver rango de matrices

Calculando el determinante de un menor dos por dos de la matriz \(B\) que no depende del parámetro se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}4 & -1\\-2 & -3\end{array}=-14\neq 0\), luego, el rango de la matriz será dos ó tres

Estudiando el determinante de dos menores tres por tres de la matriz \(B\), se tiene

\(\begin{array}{|crl|}4 & -1& 1\\-2 & -3& -7\\ 3 & 2-a& 3+a\end{array}=40(1-a)=0\Rightarrow a=1\) y \(\begin{array}{|crl|}4 & -1& -2\\-2 & -3& -8\\ 3 & 2-a& 3\end{array}=36(1-a)=0\Rightarrow a=1\)

– Si \(a\neq 1\), existen menor tres por tres en la matriz cuyo determinante es distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a\neq 1,\hbox{el rango de }B\hbox{ es }3}\)

– Si \(a=1\), no hay menores de orden tres de determinante distinto de cero, luego

\(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)

b) Desarrollando la ecuación matricial dada en el enunciado, se tiene, ver cómo resolver ecuaciones matriciales

\(AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B\)

Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=0\) en la ecuación matricial dada en el enunciado, se tiene

\(\begin{array}{|crl|}0 &1&2\\ -2&-1&0\\ 1&0&1\end{array}=4\)

Para resolver la ecuación pedida es necesario hallar la inversa de \(A\), ver cómo calcular inversas de matrices

\(A^{-1}=\frac{(Adj)^{t}}{|A|}=\begin{pmatrix}-1 &-1&2\\ 2&-2&-4\\ 1&1&2\end{pmatrix}\)

Por lo tanto, \(X=\frac 14\begin{pmatrix}-1 &-1&2\\ 2&-2&-4\\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-1&1&-2\\ -2&-3&-7&-8\\ 3&2-a&3+a&3\end{pmatrix}\)

Recordando cómo operar con matrices, se tiene el resultado pedido \(\bbox[yellow]{X=\begin{pmatrix}1 &2&3&4\\ 0&-1&1&0\\ 2&0&0&-1\end{pmatrix}}\)

 

\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Calcular el valor del determinante \(\begin{array}{|crl|}x&1&1&1\\ 1&y&1&1\\ 1&1&z&1\\ 1&1&1&1\end{array}\)

Con el objetivo de tener una columna con todos sus términos cero excepto uno y de este modo poder hallar el determinante (multiplicando el valor del término distinto de cero de la columna por el determinante del menor que queda), ver cómo calcular determinantes, se restan y suman filas en el determinante dado

\(\begin{array}{|crl|}x&1&1&1\\ 1&y&1&1\\ 1&1&z&1\\ 1&1&1&1\end{array}=\begin{pmatrix}F_1=F_1-F_4\\ F_2=F_2-F_4\\ F_3=F_3-F_4\end{pmatrix}=\begin{array}{|crl|}x-1&0&0&0\\ 0&y-1&0&0\\ 0&0&z-1&0\\ 1&1&1&1\end{array}=\bbox[yellow]{(x-1)(y-1)(z-1)}\)