Ejercicios de Sistemas de ecuaciones IX

Ejercicio 5: Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro \(a\)
\(\displaystyle\begin{cases}x+y+az=&0\\ax-y=&-1 \\x+4y+6z=&0 \\\end{cases}\)

Para estudiar su compatibilidad se considerará la matriz asociada al sistema y la matriz ampliada,

\(A=\begin{pmatrix}1 &1&a\\ a&-1& 0\\ 1&4& 6\end{pmatrix}\;\) y \(\;\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &1&a&0\\ a&-1& 0&-1\\ 1&4& 6&0\end{pmatrix}\;\)

El determinante de \(A\) es \(|A|=4a^2-5a-6=0\Rightarrow a=2,\; a=-\frac 34\), ver cómo se resuelven determinantes

- Si \(a=2\), se tiene

\(\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &1&2&0\\ 2&-1& 0&-1\\ 1&4& 6&0\end{pmatrix}\)

Tomando el menor \(3\times 3\), \(\begin{array}{|crl|}1 &1&0\\ 2&-1&-1\\1 &4&0\end{array}=3\neq 0\)

Teniendo en cuenta que \(|A|=0\), se tiene que

\(Rg(A)=2\neq 3=Rg(\bar{A})\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es incompatible si }a=2}\)

- Si \(a\neq -\dfrac 34\), la matriz queda como

\(\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &1&-\frac 34&0\\ -\frac 34&-1& 0&-1\\ 1&4& 6&0\end{pmatrix}\)

Tomando el menor \(3\times 3\), \(\begin{array}{|crl|}1 &1&0\\ -\frac 34&-1&-1\\1 &4&0\end{array}=3\neq 0\)

Teniendo en cuenta que \(|A|=0\), se tiene que

\(Rg(A)=2\neq 3=Rg(\bar{A})\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es incompatible si }a=-\dfrac 34}\)

- Si \(a\neq 2,-\dfrac 34\Rightarrow Rg(A)=Rg(\bar{A})=\hbox{n. variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 2,-\dfrac 34}\)

 

Ejercicio 6: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando la regla de Cramer \(\displaystyle\begin{cases}x-2y+3z=&0\\x+y=&2 \\x-z=&1 \\\end{cases}\)

Para aplicar la Regla de Cramer primero se comprueba que el sistema es compatible determinado (se comprueba que hay solución del sistema), ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & 3 \\1 & 1 & 0\\1 & 0 &-1\end{array}=-6\neq 0\)

Luego, \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\hbox{el sistema es compatible determinado}\)

Para calcular su solución utilizando la Regla de Cramer se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}0 & -2 & 3 \\2 & 1 & 0\\1 & 0 &-1\end{array}=-7\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 0 & 3 \\1 & 2 & 0\\1 & 1 &-1\end{array}=-5\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & 0 \\1 & 1 & 2\\1 & 0 &1\end{array}=-1\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\dfrac{|A_x|}{|A|},\dfrac{|A_y|}{|A|},\dfrac{|A_z|}{|A|})=\boxed{(\dfrac{7}{6},\dfrac{5}{6},\dfrac{1}{6})}\)

 

Ejercicio 7: Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro \(\lambda\)
\(\displaystyle\begin{cases}x+y+z=&1\\x+2y+3z=&3 \\3x+4y+\lambda z=&\lambda \\\end{cases}\)

Para discutir el sistema de ecuaciones, se calculan los Rangos de la matriz asociada al sistema y la matriz ampliada,

\(A=\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1&2& 3\\ 3&4& \lambda\end{pmatrix}\;\) y \(\;\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &1&1&1\\ 1&2& 3&3\\ 3&4& \lambda&\lambda\end{pmatrix}\)

De forma que, ver cómo se resuelven determinantes, \(|A|=\lambda -5=0\Rightarrow \lambda=5\)

- Si \(\lambda=5\), se tiene que \(|A|=0\) y \(\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &1&1&1\\ 1&2& 3&3\\ 3&4& 5&5\end{pmatrix}\)

La columna penúltima y última son iguales, luego el Rango de \(\bar{A}\) será menor o igual a dos

Se encuentra un menor en \(A\) y en \(\bar{A}\) tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1 \\1 & 2\end{array}=1\neq 0\), por lo que \(Rg(A)=Rg(\bar{A})\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible indeterminado si }\lambda=5}\)

Para resolverlo se escoge una de las variables y se le da el valor \(t\) y se despejan las otras en función de este valor, de esta forma se encuentran las infinitas soluciones del sistema, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones,

\(\boxed{\displaystyle\begin{cases}x=&-1+t\\y=&2-2t\\z=t \\\end{cases}}\)

- Si \(\lambda\neq 5\Rightarrow Rg(A)=Rg(\bar{A})=3=\hbox{n. variables}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }\lambda\neq 5}\)

Ejercicio 8: Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro \(a\)
\(\displaystyle\begin{cases}3x-ay+z=&1\\3x-y+z=&a \\x+y+2z=&0\\\end{cases}\)

Para discutir el sistema de ecuaciones, se calculan los Rangos de la matriz asociada al sistema y la matriz ampliada,

\(A=\begin{pmatrix}3 &-a&1\\ 3&-1& 1\\ 1&1& 2\end{pmatrix}\;\) y \(\;\bar{A}=\begin{pmatrix}3 &-a&1&1\\ 3&-1& 1&a\\ 1&1& 2&0\end{pmatrix}\)

De forma que, ver cómo se resuelven determinantes, \(|A|=5a -5=0\Rightarrow a=1\)

- Si \(a=1\), se tiene que \(|A|=0\) y \(\bar{A}=\begin{pmatrix}3 &-1&1&1\\ 3&-1& 1&1\\ 1&1& 2&0\end{pmatrix}\)

La primera y la segunda fila son iguales, luego el Rango de \(\bar{A}\) será menor o igual a dos

Se encuentra un menor en \(A\) y en \(\bar{A}\) tal que \(\begin{array}{|crl|}3 &-1 \\1 & 1\end{array}=4\neq 0\), por lo que \(Rg(A)=Rg(\bar{A})\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible indeterminado si }a=1}\)

Para resolverlo se escoge una de las variables y se le da el valor \(t\) y se despejan las otras en función de este valor, de esta forma se encuentran las infinitas soluciones del sistema, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones,

\(\boxed{\displaystyle\begin{cases}x=&\dfrac 14-\dfrac 34t\\y=&-\dfrac 14-\dfrac 54t\\z=t \\\end{cases}}\)

- Si \(a\neq 1\Rightarrow Rg(A)=Rg(\bar{A})=3=\hbox{n. variables}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 1}\)

 

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