Ejercicios de Sistemas de ecuaciones VII

Ejercicio 5: Discutir si el siguiente sistema es compatible y de ser así, encontrar las soluciones \(\displaystyle\begin{cases}x+y=&2\\2x-y=&13 \\5x+3y=&16 \\\end{cases}\)

Para estudiar la compatibilidad del sistema se estudia el rango de la matriz asociada al sistema y de la matriz ampliada, ver cómo se estudian los sistemas de ecuaciones y cómo resolver determinantes,

\(A=\begin{pmatrix}1 &1\\ 2&-1\\ 5&3\end{pmatrix}\;\) y \(\;\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &1&2\\ 2&-1& 13\\ 5&3& 16\end{pmatrix}\)

De forma que

\(|\bar{A}|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 2 \\2 & -1 & 13\\5 & 3 &16\end{array}=0\)

Luego, el Rango de \(\bar{A}\) será menor o igual a dos

Como el menor \(\begin{array}{|crl|}1 & 1 \\2 & -1\end{array}=-3\neq 0\), el Rango de \(\bar{A}\) será dos

Luego \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2\), por lo que \(\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado}}\)

Para resolverlo se consideran (por ejemplo) la primera y la segunda ecuación:

\(\displaystyle\begin{cases}x+y=&2\\2x-y=&13 \\\end{cases}\)

Sumando ambas ecuaciones se tiene \(3x=15\Rightarrow x=5\)

Sustituyendo este valor en la primera ecuación se obtiene el resultado final \(\boxed{x=5,\; y=-3}\)

 

Ejercicio 6: Discutir el sistema según los valores del parámetro \(a\)
\(\displaystyle\begin{cases}2x-y+z=&0\\x+2y-3z=&0 \\3x-4y-az=&0 \\\end{cases}\)

Como el sistema es homogéneo para estudiar su compatibilidad se considerará la matriz asociada al sistema (ya que la matriz ampliada es la misma),

\(A=\begin{pmatrix}2 &-1&1\\ 1&2& -3\\ 3&-4& -a\end{pmatrix}\)

El determinante de \(A\) es \(|A|=-5a-25=0\Rightarrow a=-5\), ver cómo se resuelven determinantes

De manera que \(Rg(A)=Rg(\bar{A})\)

- Si \(a=-5\), se tiene

\(A=\begin{pmatrix}2 &-1&1\\ 1&2& -3\\ 3&-4& 5\end{pmatrix}\)

Y \(|A|=0\). Tomando el menor \(\begin{array}{|crl|}2 &-1\\ 1&2\end{array}=5\neq 0\), se tiene que

\(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2<\hbox{n. variables en el sistema}=3\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible indeterminado si }a=-5}\)

- Si \(a\neq -5\),

\(Rg(A)=Rg(\bar{A})=3=\hbox{n. variables del sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -5\hbox{ y } (x,y,z)=(0,0,0)}\)

Ejercicio 7: Discutir el sistema según los valores del parámetro \(m\)
\(\displaystyle\begin{cases}mx+y+z=&4\\x+y+z=&m \\x-y+mz=&2 \\\end{cases}\)

Para discutir el sistema de ecuaciones, se calculan los Rangos de la matriz asociada al sistema y la matriz ampliada,

\(\bar{A}=\begin{pmatrix}m &1&1&4\\ 1&1& 1&m\\ 1&-1& m&2\end{pmatrix}\)

De forma que, ver cómo se resuelven determinantes, \(|\bar{A}|=m^2-1=0\Rightarrow m=\pm 1\)

- Si \(m=1\), \(\bar{A}\) se escribe como \(\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &1&1&4\\ 1&1& 1&1\\ 1&-1& 1&2\end{pmatrix}\)

Como la primera y la segunda fila son contradictorias entre sí, \(\boxed{\hbox{el sistema es incompatible si }m=1}\)

- Si \(m=-1\), \(\bar{A}\) queda \(\bar{A}=\begin{pmatrix}-1 &1&1&4\\ 1&1& 1&-1\\ 1&-1& -1&2\end{pmatrix}\)

En este caso, la primera y la tercera fila son contradictorias entre sí, \(\boxed{\hbox{el sistema es incompatible si }m=-1}\)

Si \(m\neq\pm 1\Rightarrow Rg(A)=Rg(\bar{A})=3=\hbox{n. variables}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }m\neq\pm 1}\)

Ejercicio 8: Resolver el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer \(\displaystyle\begin{cases}2x-y=&0\\3x+y=&5 \\\end{cases}\)

Para aplicar la Regla de Cramer primero se comprueba que el sistema es compatible determinado (para ver que hay solución del sistema), ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}2& -1 \\3 & 1\end{array}=5\neq 0\)

Luego, \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\hbox{el sistema es compatible determinado}\)

Para calcular su solución utilizando la Regla de Cramer se considera el determinante de \(A\) y los determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}0 & -1\\5 & -1\end{array}=5\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & 0 \\3 & 5\end{array}=10\)

Por lo que la solución final será \((x,y)=(\dfrac{|A_x|}{|A|},\dfrac{|A_y|}{|A|})=\boxed{(1,2)}\)

 

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