Ejercicio : (Junio 2011 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
a) (2 ptos) Discutir el sistema de ecuaciones \(AX=B\), donde
\(A=\begin{pmatrix}0&1&m-1\\ 0&m-1&1\\ m-2&0&0\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\z\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}m\\ m\\ m+2\end{pmatrix}\)
según los valores de \(m\)
b) (1 pto) Resolver el sistema en los casos \(m=0\) y \(m=1\)
a) La matriz ampliada del problema será \(A^{*}=\begin{pmatrix}0&1&m-1&m\\ 0&m-1&1&m\\ m-2&0&0&m+2\end{pmatrix}\)
Ambas matrices tienen tres filas, luego, como máximo el rango será tres, ver rango de matrices
Calculando el determinante de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}0 & 1 & m-1\\0 & m-1 & 1\\m-2 & 0 & 0\end{array}=-m(m-2)^2=0\Rightarrow -m(m-2)^2\Rightarrow m=0\) y \(m=2\)
– Si \(m\neq 0,2\), el determinante de \(|A|\) es distinto de cero, por lo tanto ,\(\hbox{el rango de }A\hbox{ es igual al }\hbox{rango de }A^{*}=3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si } m\neq -1,2,\hbox{ el sistema es compatible determinado}}\)
– Si \(m=0\), matriz \(A\) tiene determinante nulo y todos los menores tres por tres de \(A^{*}\) también tienen determinante nulo, ver cómo resolver determinantes, por lo tanto, como tanto en \(A\) como en \(A^{*}\) existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}0& -1\\-2 & 0\end{array}=-2\neq 0\)
\(\hbox{si } m=0,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }\hbox{ es igual al }\hbox{rango de }A^{*}=2\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si } m=0 \hbox{ el sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(m=2\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}0 &1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\)
Todos los menores de esa matriz de orden tres y de orden dos son nulos. Por otra parte, en \(A^{*}\) es posible encontrar el siguiente menor \(\begin{array}{|crl|}1& 2\\0 & 4\end{array}=4\neq 0\) por lo
tanto \(\hbox{si } m=2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }\hbox{ es distinto al }\hbox{rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si } m=2 \hbox{ el sistema es incompatible}}\)
b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(m=0\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene el siguiente sistema, recordar cómo operar con matrices
\(\begin{cases}y-z=&0\\-y+z=&0\\-2x=&2\\\end{cases}\)
La primera y la segunda ecuación son proporcionales, de forma que basta una de ellas (y la tercera) para resolverlo, ver resolución de sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}-y+z=&0\\-2x=&2\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&-1\\y=&\lambda\\z=&\lambda\\\end{cases}}\)
En el caso de \(m=1\) el sistema será compatible determinado y se obtendrá
\(\begin{cases}-y=&1\\z=&1\\-x=&3\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&-3\\y=&1\\z=&1\\\end{cases}}\)
Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificación:2 ptos)
Calcular el rango de la matriz
\(\begin{pmatrix}1&3&-2\\ -1&1&a\\ 2&0&-a\\ a+2&0&a\end{pmatrix}\)
según los valores del parámetro \(a\)
La matriz tiene tres columnas, luego, como máximo el rango será tres, ver rango de matrices
Tomando los siguientes menores \(3\times 3\) se tiene, ver cómo resolver determinantes,
\(\begin{array}{|crl|}1 & 3 & -2\\-1 & 1 & a\\2 & 0 & -a\end{array}=2(a+2)\) y \(\begin{array}{|crl|}1 & 3 & -2\\-1 & 1 & a\\a+2 & 0 & a\end{array}=3a^2+12a+4\)
Como no hay soluciones comunes para estos determinantes, el rango de la matriz no puede ser tres. Por otra parte, es posible encontrar un menor \(2\times 2\) en la matriz tal que su determinante sea distinto de cero:
\(\begin{array}{|crl|}1 & 3\\-1 & 1\end{array}=4\neq 0\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{El rango de la matriz es }3\hbox{ para todo valor de }a}\)