Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Dada la matriz
\(M=\begin{pmatrix}\sin x&\cos x&0\\ \cos x&-\sin x&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\)
Se pide:
a) (0,5 ptos) Calcular el determinante de la matriz
b) (1 pto) Hallar la matriz \(M^2\)
c) (0,5 ptos) Hallar la matriz \(M^{25}\)
a) Consultando cómo resolver determinantes y recordando las igualdades trigonométricas, se obtiene
\(|M|=\begin{array}{|crl|}\sin x & \cos x & 0\\ \cos x & -\sin x & 0\\0 & 0 & 1\end{array}=-\sin ^2x-\cos ^2x=\bbox[yellow]{-1}\)
b) \(M^2=M.M=\begin{pmatrix}\sin x&\cos x&0\\ \cos x&-\sin x&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}\sin x&\cos x&0\\ \cos x&-\sin x&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\)
Consultando el apartado de cómo multiplicar matrices, se obtiene el resultado
\(M^2=\begin{pmatrix}\sin x\sin x+\cos x.\cos x&\sin x.\cos x+\cos x(-\sin x)&\sin x.0+\cos x.0+0.1\\ \cos x.\sin x+(-\sin x)\cos x&\cos x.\cos x+(-\sin x)(\sin x)&\cos x.0+(-\sin x).0+0.1\\ 0.\sin x+0.\cos x+1.0&0.\cos x+0.(-\sin x)+1.0&0.0+0.0+1.1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin^2 x+\cos^2 x&\sin x\cos x-\cos x\sin x&0\\ \cos x\sin x-\sin x\cos x&\cos^2 x+\sin^2 x&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{I}\)
c) Como se ha visto en el apartado anterior, la matriz es periódica, de forma que
\(M^n=\begin{cases}M&\hbox{si }n\hbox{ es impar}\\I&\hbox{si }n\hbox{ es par}\\\end{cases}\) Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{M^{25}=M}\)
Ejercicio :(Septiembre 2011 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dado el sistema de ecuaciones lineales
\(\displaystyle\begin{cases}2x+4y=4k&\\-k^3x+k^2y+kz=0& \\x+ky=k^2&\\\end{cases}\)
se pide:
a) (2 ptos) Discutirlo en función del parámetro \(k\)
b) (0,5 ptos) Resolver el sistema para \(k=1\)
c) (0,5 ptos) Resolver el sistema para \(k=2\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}2 &4&0\\ -k^3&k^2& k\\ 1&k& 0\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}2 &4&0&4k\\ -k^3&k^2& k&k\\ 1&k& 0&k^2\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=4k-2k^2=0\Rightarrow k=0\) y \(k=2\)
– Si \(k\neq 0,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }k\neq 0,2}\)
– Si \(k=0\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}2 &4\\ 1& 0\end{array}=-4\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=0,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(k=2\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}4 &0\\ 4& 2\end{array}\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante nulo y el mismo menor dos por dos encontrado en \(A\) se encuentra en \(A^{*}\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(k=1\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}2x+4y=&4\\-x+y+z=&0 \\x+y=&1\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=4k-2k^2=2\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}4 & 4 & 0 \\0 & 1 & 1\\1 & 1 &0\end{array}=0\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & 4 & 0 \\-1 & 0 & 1\\1 & 1 &0\end{array}=2\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}2 & 4 & 4 \\-1 & 1 & 0\\1 & 1 &1\end{array}=-1\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(0,1,-1)}\)
c) Para \(k=2\) el sistema es compatible indeterminado de rango dos y es
\(\displaystyle\begin{cases}2x+4y=&8\\-8x+4y+2z=&4 \\x+2y=&4\\\end{cases}\)
Tomando \(x=\lambda\), se tiene la solución al sistema, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones, \(\bbox[yellow]{(\lambda,2-\frac 12\lambda,5\lambda)}\)