Ejercicio :(Junio 2014 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dadas las matrices
\(A=\begin{pmatrix}\alpha &\beta&\gamma\\ \gamma& 0&\alpha\\ 1& \beta&\gamma\end{pmatrix};\) \(X=\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}\); \(B=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(O=\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
se pide:
a) (1,5 ptos) Calcula \(\alpha,\beta\) y \(\gamma\) para que \(\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}\) sea solución del sistema \(XA=B\)
b) (1 pto) Si \(\beta=\gamma=1\). ¿Qué condición o condiciones debe cumplir \(\alpha\) para que el sistema lineal homogéneo \(AX=O\) sea compatible determinado?
c) (0,5 ptos) Si \(\alpha=-1,\beta=1\) y \(\gamma=0\), resuelve el sistema \(AX=B\)
a) Primeramente se escribe la ecuación matricial \(AX=B\), ver ecuaciones matriciales y se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones,
\(\begin{pmatrix}\alpha &\beta&\gamma\\ \gamma& 0&\alpha\\ 1& \beta&\gamma\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}\alpha+2\beta+3\gamma=&1\\3\alpha+\gamma=&0 \\2\beta+3\gamma=&0\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{\begin{cases}\alpha=&1\\ \beta=&\frac 92 \\ \gamma=&-3\\\end{cases}}\)
b) Para \(\beta=\gamma=1\), se tiene
\(\begin{pmatrix}\alpha &1&1\\ 1& 0&\alpha\\ 1& 1&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
Para estudiar el sistema se calcula el determinante de \(A\), ver cómo estudiar sistemas de ecuaciones y cómo calcular determinantes,
\(|A|=-\alpha(\alpha -1)=0\Rightarrow\alpha=0,\alpha=1\)
Por lo tanto, consultando cómo calcular el rango de una matriz y el Teorema de Rouché-Frobenius, se concluye
– Si \(\bbox[yellow]{\alpha\neq 0}\) y \(\bbox[yellow]{\alpha\neq 1}\Rightarrow |A|\neq 0\Rightarrow\hbox{ Rango}(A)=3=\)n. incógnitas\(\Rightarrow\) es un sistema compatible determinado y su solución es la trivial, \(x=y=z=0\)
– Si \(\alpha=0\) ó \(\alpha=1\Rightarrow |A|=0\Rightarrow\) el sistema es compatible indeterminado
c) Sustituyendo los valores de los parámetros y resolviendo el sistema, se tiene
\(\begin{pmatrix}-1 &1&0\\ 0& 0&-1\\ 1& 1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}-x+y=&1\\-z=&0 \\ x+y=&1\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{\begin{cases}x=&0\\ y=&1 \\ z=&0\\\end{cases}}\)
Ejercicio :(Junio 2014 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dada la matriz
\(A=\begin{pmatrix}-1 &-1&a\\ -3& 2&a\\ 0& a&-1\end{pmatrix},\) se pide:
a) (1 pto) Hallar el valor o valores de \(a\) para que la matriz \(A\) tenga inversa
b) (1 pto) Calcular la matriz inversa \(A^{-1}\) de \(A\), en el caso \(a=2\)
a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo. En este caso, consultando cómo resolver determinantes, se tiene
\(\begin{array}{|crl|}-1 &-1&a\\ -3& 2&a\\ 0& a&-1\end{array}=-2a^2+5=0\Rightarrow a=\pm\sqrt{\frac 52}\)
Es decir, \(\bbox[yellow]{\hbox{para }a\neq \sqrt{\frac 52},\hbox{ existe inversa de la matriz}}\)
b) Para \(a=2\), se tiene
\(A=\begin{pmatrix}-1 &-1&2\\ -3& 2&2\\ 0& 2&-1\end{pmatrix}\)
El determinante de \(A\) será en este caso \(|A|=-2(2)^2+5=-3\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Por lo tanto, la inversa será \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\begin{pmatrix}2 &-1&2\\ 1& -\frac 13&\frac 43\\ 2& -\frac 23&\frac 53\end{pmatrix}}\)