OPCIÓN A

\[\]Ejercicio 1:(3 ptos)

Dadas las matrices 

\(A=\begin{pmatrix}\alpha &\beta&\gamma\\ \gamma& 0&\alpha\\ 1& \beta&\gamma\end{pmatrix};\) \(X=\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}\); \(B=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(O=\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)

se pide:
a) (1,5 ptos) Calcula \(\alpha,\beta\) y \(\gamma\) para que \(\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}\) sea solución del sistema \(XA=B\)
b) (1 pto) Si \(\beta=\gamma=1\). ¿Qué condición o condiciones debe cumplir \(\alpha\) para que el sistema lineal homogéneo \(AX=O\) sea compatible determinado?
c) (0,5 ptos) Si \(\alpha=-1,\beta=1\) y \(\gamma=0\), resuelve el sistema \(AX=B\)

a) Primeramente se escribe la ecuación matricial \(AX=B\), ver ecuaciones matriciales y se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones,

\(\begin{pmatrix}\alpha &\beta&\gamma\\ \gamma& 0&\alpha\\ 1& \beta&\gamma\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}\alpha+2\beta+3\gamma=&1\\3\alpha+\gamma=&0 \\2\beta+3\gamma=&0\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{\begin{cases}\alpha=&1\\ \beta=&\frac 92 \\ \gamma=&-3\\\end{cases}}\)

b) Para \(\beta=\gamma=1\), se tiene

\(\begin{pmatrix}\alpha &1&1\\ 1& 0&\alpha\\ 1& 1&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)

Para estudiar el sistema se calcula el determinante de \(A\), ver cómo estudiar sistemas de ecuaciones y cómo calcular determinantes,

\(|A|=-\alpha(\alpha -1)=0\Rightarrow\alpha=0,\alpha=1\)

Por lo tanto, consultando cómo calcular el rango de una matriz y el Teorema de Rouché-Frobenius, se concluye

– Si \(\bbox[yellow]{\alpha\neq 0}\) y \(\bbox[yellow]{\alpha\neq 1}\Rightarrow |A|\neq 0\Rightarrow\hbox{ Rango}(A)=3=\)n. incógnitas\(\Rightarrow\) es un sistema compatible determinado y su solución es la trivial, \(x=y=z=0\)

– Si \(\alpha=0\) ó \(\alpha=1\Rightarrow |A|=0\Rightarrow\) el sistema es compatible indeterminado

c) Sustituyendo los valores de los parámetros y resolviendo el sistema, se tiene

\(\begin{pmatrix}-1 &1&0\\ 0& 0&-1\\ 1& 1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}-x+y=&1\\-z=&0 \\ x+y=&1\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{\begin{cases}x=&0\\ y=&1 \\ z=&0\\\end{cases}}\)

Ejercicio 2:(3 ptos)

Dado el punto \(P(1,0,1)\), el plano \(\pi\equiv x+5y-6z=1\) y la recta \(r:\begin{cases}x=&0\\y=&0\\\end{cases}\), se pide:

a) (1 pto) Calcular el punto \(P’\) simétrico a \(P\) respecto de \(\pi\)
b) (1 pto) Hallar la distancia de \(P\) a \(r\)
c) (1 pto) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas \(O(0,0,0)\) y las ntersecciones de \(\pi\) con los ejer coordenados \(OX\), \(OY\) y \(OZ\)

c) \(P’\) se calculará como simétrico de \(P\) respecto de \(M’\), ver cómo calcular el simétrico respecto de un plano

\(M’\) se calculará como intersección de la recta \(s\) y el plano \(\pi\), con \(s\) la recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\),

\(\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=(1,5,-6)&\\P(1,0,1)\in r&\\\end{cases}\Rightarrow s\equiv\begin{cases}x=&1+\lambda\\y=&5\lambda\\ z=&1-6\lambda\\\end{cases}\)

Sustituyendo \(s\) en \(\pi\) se obtiene \(\lambda=-\frac 35\). Incluyendo este valor obtenido en \(s\), se halla el punto \(M’\) buscado, \(M'(\frac 25,-3, \frac{23}{5})\)

Sabiendo que \(M’\) era el punto medio del segmento \(\vec{PP’}\) e igualando coordenadas, se calculará

\(M’\big(\frac{x_p+x_{p’}}{2},\frac{y_p+y_{p’}}{2},\frac{z_p+z_{p’}}{2}\big)\Rightarrow\bbox[yellow]{P'(-\frac 15,-6,\frac{41}{5})}\)

b) Consultando cómo calcular la distancia entre un punto y una recta, se tiene que \(\vec{v_r}=(0,0,1)\), ver cómo calcular el vector director de una recta, y \(\vec{P_rP}=(1,0,1)\), con \(P_r=(0,0,0)\), un punto de la recta \(r\), se tiene

\(d(P,r)=\frac{|(1,0,1)\times (0,0,1)|}{|\vec{v_r}|}=\frac11=\bbox[yellow]{1}\)

c) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de

\(V=\frac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro

En este caso, los vértices del tetraedro pedido serán los puntos de corte del plano \(\pi\) dado en el enunciado y los ejes coordenados,

\(OX\Rightarrow \vec{a}=(1,0,0)\),\(OY\Rightarrow \vec{b}=(0,\frac 15,0)\) y \(OZ\Rightarrow \vec{c}=(0,0,-\frac 16)\), por lo tanto, recordando cómo se resuelven determinantes, se tien

\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}1 &0&0\\ 0&\frac 15&0\\ 0&0&-\frac 16\end{array}=\bbox[yellow]{\frac{1}{180}u^3}\)

\[\] Ejercicio 3: (2 ptos)

a) (1 pto) Sea \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa \(x=-2\) es un punto de nflexión de la gráfica de \(f(x)\) y que la recta de ecuación \(y=16x+16\) es tangente a la gráfica de \(f(x)\) en dicho punto, determinar

\(f(-2),\quad f'(-2)\quad\hbox{ y }\quad f»(-2)\)

b) (1 pto) Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función \(g(x)=x^4+4x^3\) y el eje \(OX\)

a) El enunciado dice que \(x=-2\) es el punto de tangencia con la recta \(y=16x+16\), por lo tanto, la función buscada tendrá el mismo valor que la recta en el punto \(x=-2\). Evaluando dicha función en \(x=-2\), se tiene que \(y=-32+16=\bbox[yellow]{f(-2)=-16}\)

Consultando las ecuaciones de la recta, se tiene que la pendiente \(m\) de la recta \(y=16x+16\) es \(m=16\), por lo tanto, \(\bbox[yellow]{f'(-2)=16}\)

Por último, como el enunciado dice que \(x=-2\) es un punto de inflexión de \(f(x)\), la segunda derivada de dicha función se anulará en ese punto, es decir, \(\bbox[yellow]{f»(-2)=0}\), consultar la teoría de puntos de inflexión

b) Para calcular el área pedida se resolverá la integral de la función \(g(x)\) teniendo como límites de integración por puntos de corte con el eje \(OX\), ver cómo se calculan áreas de funciones y la tabla de integrales

\(g(x)=x^4+4x^3=0\Rightarrow x=0,\quad x=-4\)

\(\displaystyle\int_{-4}^0x^4+4x^3 dx=\frac{x^5}{5}+x^4\Big|_{-4}^0=-\frac{4^4}{5}\)

Como el área no puede ser negativa, se tiene el resultado \(A=\Big|-\frac{4^4}{5}\Big|=\bbox[yellow]{\frac{256}{5}u^2}\)

 

\[\]Ejercicio 4: (2 ptos)

Calcular justificadamente:

a) \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}\)
b) \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}\)

a) Para estudiar los límites, es importante recordar la teoría de cómo resolver límites

\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\frac 00\)

Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se utilizará la Regla de L’Hôpital para resolver el límite, para ello consultar también la tabla de derivadas,

\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-2-e^x+3\cos (3x)}{2x}=\frac 00\)

Aplicando de nuevo la Regla de L’Hôpital, se tiene el resultado

\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-e^x-9\sin (3x)}{2}=\bbox[yellow]{-\frac 12}\)

b) Sustituyendo directamente el valor en el límite se obtiene

\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}=\frac{\infty}{\infty}\)

Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se desarrollarán los polinomios y se dividirá entre la máxima potencia en el numerador y también en el denominador, ver cómo resolver límites de funciones racionales,

\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{5x^3-30x^2+2x-12}{2x^3-x^2-2x+1}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{5-\frac{30}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{12}{x^3}}{2-\frac 1x-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\bbox[yellow]{\frac 52}\)

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