OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos)
Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}a+\ln (1-x)&x<0\\\ x^2e^{-x}&x\geq 0\\\end{cases}\)
(donde \(\ln\) denota el logaritmo neperiano) se pide:
a) (1 pto) Calcular \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)\) y \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)\)
b) (1 pto) Calcular el valor de \(a\) para que \(f(x)\) sea continua en todo \(\mathbb{R}\)
c) (1 pto) Estudiar la derivabilidad de \(f\) y calcular \(f’\), donde sea posible
a) Para estudiar los límites, se recomienda recordar la teoría de cómo resolver límites
\(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}\)
Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se utilizará la Regla de L’Hôpital para resolver el límite, para ello consultar también la tabla de derivadas,
\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2x}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}\)
Se aplica de nuevo la Regla de L’Hôpital, obteniendo
\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2}{e^x}=\bbox[yellow]{0}\)
Por otra parte,
\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(a+\ln (1-x))=\bbox[yellow]{\infty}\)
b) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=0\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{x^2}{e^x}=0\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}(a+\ln (1-x))=a\)
Luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\bbox[yellow]{a=0}\)
c) Para que la función sea derivable la función tiene que ser continua (en este caso, como se ha visto en el apartado anterior, \(a=0\)) y además tiene que cumplirse que \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}-\frac{1}{1-x}&x<0\\ xe^{-x}(2-x)&x\geq 0\\\end{cases}\)
Evaluando \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), se tiene que \(-1=0\Rightarrow \hbox{Imposible}\), luego, \(\bbox[yellow]{f(x) \hbox{ no es derivable en }0}\)
Ejercicio 2:(3 ptos)
Dados el plano \(\pi\equiv 2x-y=2\) y la recta \(r\equiv\begin{cases}x=&1\\\ y-2z=&2\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Estudiar la posición relativa de \(r\) y \(\pi\)
b) (1 pto) Determinar el plano que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\)
c) (1 pto) Determinar la recta que pasa por \(A(-2,1,0)\), corta a \(r\) y es paralela a \(\pi\)
a) Escribiendo la recta en su ecuación paramétrica, ver expresiones de la recta, se tiene
\(r\equiv\begin{cases}x=&1\\\ y=&2+2\lambda\\\ z=&\lambda\\\end{cases}\)
Sustituyendo estos valores en el plano \(\pi\), se tiene \(2.1-(2+2\lambda)=2\Rightarrow\lambda=-1\). Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{r\hbox{ y }\pi\hbox{ se cortan en el punto }(1,0,-1)}\)
b) El plano pedido \(\pi’\) se construirá con el vector propio de \(\pi\), el vector director de \(r\) y un punto que pase por \(r\), ver cómo se construye un plano y cómo resolver determinantes,
\(\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=&(2,-1,0)\\\ \vec{v_r}=&(0,2,1)\\\ P_r&(1,2,0)\\\end{cases}\Rightarrow \pi’:\begin{array}{|crl|} 2 &0&x-1\\ -1&2&y-2\\ 0&1&z\end{array}=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x+2y-4z-5=0}\)
c) Primeramente se calculará el plano paralelo a \(\pi\) que pase por \(A\), es decir, un plano \(\pi’\) que tenga el mismo vector normal que \(\pi\), ver vector propio de un plano, y que pase por \(A\):
\(\pi’: 2x-y+\lambda=0\Rightarrow -4-1+\lambda=0\Rightarrow\lambda=5\Rightarrow \pi’: 2x-y+5=0\)
Se calcula ahora el punto de corte del plano obtenido con la recta \(r\),
\(2-(2+2\lambda)+5=0\Rightarrow\lambda=\frac 52\Rightarrow P(1,7,\frac 52)\)
Por lo tanto, la recta \(s\) pedida será aquélla que pase por por los puntos \(A\) y \(P\), ver cómo construir una recta con dos puntos dados,
\(\begin{cases}\vec{v_{s}}=\vec{AP}&(3,6,\frac 52)\\\ P_s=&(-2,1,0)\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{s:\begin{cases}x=&-2+3\lambda\\\ y=&1+6\lambda\\\ z=&\frac 52\lambda\\\end{cases}}\)
\[\] Ejercicio 3:(3 ptos)
Dada la matriz
\(A=\begin{pmatrix}-1 &-1&a\\ -3& 2&a\\ 0& a&-1\end{pmatrix},\) se pide:
a) (1 pto) Hallar el valor o valores de \(a\) para que la matriz \(A\) tenga inversa
b) (1 pto) Calcular la matriz inversa \(A^{-1}\) de \(A\), en el caso \(a=2\)
a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo. En este caso, consultando cómo resolver determinantes, se tiene
\(\begin{array}{|crl|}-1 &-1&a\\ -3& 2&a\\ 0& a&-1\end{array}=-2a^2+5=0\Rightarrow a=\pm\sqrt{\frac 52}\)
Es decir, \(\bbox[yellow]{\hbox{para }a\neq \sqrt{\frac 52},\hbox{ existe inversa de la matriz}}\)
b) Para \(a=2\), se tiene
\(A=\begin{pmatrix}-1 &-1&2\\ -3& 2&2\\ 0& 2&-1\end{pmatrix}\)
El determinante de \(A\) será en este caso \(|A|=-2(2)^2+5=-3\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Por lo tanto, la inversa será \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\begin{pmatrix}2 &-1&2\\ 1& -\frac 13&\frac 43\\ 2& -\frac 23&\frac 53\end{pmatrix}}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos)
Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafo, el coste es de catorce euros. Se pide:
a) (1 pto) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costará un rotulador
b) (1 pto) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores
Primeramente se definen las variables del ejercicio
\(x\equiv\) precio de un cuaderno
\(y\equiv\) precio de un rotulador
\(z\equiv\) precio de un bolígrafo
a) Los datos dados en el enunciado se pueden expresar como un sistema de ecuaciones, ver sistemas de ecuaciones y, despejando, expresar dicho sistema en función de la variable \(x\) e \(y\), es decir, en función del precio de un cuaderno y de un rotulador, respectivamente
\(\begin{cases}5x+2y+3z=22&\\\ 2x+y+6z=14&\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=-6+9z&\\\ y=26-24z&\\\end{cases}}\)
b) Sustituyendo las expresiones despejadas en el apartado anterior para el precio de un cuaderno y de un rotulador, se tiene \(8x+3y=8(-6+9z)+3(26-24z)=\bbox[yellow]{30\hbox{ euros}}\)