Álgebra en Selectividad (Sociales) 2013

Ejercicio :(Junio 2013 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix}3 &2&0\\ 1& 0&-1\\ 1& 1&1\end{pmatrix}\)

a) Calcúlense \(A^{-1}\)
b) Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por \(A.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)

a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo, ver inversa de una matriz. En este caso

\(\begin{array}{|crl|}3 &2&0\\ 1& 0&-1\\ 1& 1&1\end{array}=0-2+2-(0+2-3)=-1\)

La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz

\(A^{-1}=\dfrac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)

Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene

\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}1 &-2&-2\\ -2& 3&3\\ 1& -1&-2\end{pmatrix}\)

Por lo tanto, la inversa será \(\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 &2&2\\ 2& -3&-3\\ -1& 1&2\end{pmatrix}}\)

b) La ecuación tendrá solución cuando sea posible despejar \(X\), es decir, cuando \(A\) tenga inversa ya que denotando \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\), se tiene

\(AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B\), ver ecuaciones matriciales

Como en el apartado anterior se ha calculado la inversa, es posible calcular \(X\) en este caso consultando el apartado de cómo multiplicar matrices, se tiene

\(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-1 &2&2\\ 2& -3&-3\\ -1& 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}}\)

Ejercicio :(Junio 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real \(a\):

\(\displaystyle\begin{cases}ax-2y=2&\\3x-y-z=-1& \\x+3y+z=1&\\\end{cases}\)

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso \(a=1\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}a &-2&0\\ 3&-1& -1\\ 1&3& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}a &-2&0&2\\ 3&-1& -1&-1\\ 1&3& 1&1\end{pmatrix}\)

El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres

Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=-a+2+0-(0-6-3a)=2a+8\Rightarrow a=-4\)

- Si \(a\neq -4\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -4}\)

- Si \(a=-4\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-2\\ 1& -1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)

En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el menor \(3\times 3\) tal que

\(\begin{array}{|crl|}4 &-2&2\\ 3& -1&-1\\ 1& 3&1\end{array}=2\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)

Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\boxed{\hbox{si }a=-4,\hbox{El sistema es incompatible}}\)

b) Para \(a=1\), el sistema es compatible determinado (con \(|A|=2a+8=10\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2 & -2 & 0 \\-1 & -1 & -1\\1 & 3 &1\end{array}=4\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & 0 \\3 & -1 & -1\\1 & 1 &1\end{array}=-8\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & 2 \\3 & -1 & -1\\1 & 3 &1\end{array}=30\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\dfrac{|A_x|}{|A|},\dfrac{|A_y|}{|A|},\dfrac{|A_z|}{|A|})=\boxed{(\dfrac 25,-\dfrac 45,3)}\)

 

 

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