Ejercicios de Integrales varias VI

Ejercicio 11: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x\sqrt[3]{x+1}dx\)

Reescribiendo la integral, queda

\(\displaystyle\int x\sqrt[3]{x+1}dx=\displaystyle\int x(x+1)^{\frac 13}dx\)

Sumando y restando el término \((x+1)^{\frac 13}\), queda

\(\displaystyle\int x(x+1)^{\frac 13}dx=\displaystyle\int x(x+1)^{\frac 13}+(x+1)^{\frac 13}-(x+1)^{\frac 13}dx\)

Sacando factor común y sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver cómo operar con integrales, se obtiene

\(\displaystyle\int x(x+1)^{\frac 13}+(x+1)^{\frac 13}-(x+1)^{\frac 13}dx=\displaystyle\int (x-1)(x+1)^{\frac 13}dx-\int (x+1)^{\frac 13}dx=\displaystyle\int (x+1)^{\frac 43}dx-\int (x+1)^{\frac 13}dx\)

Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla

\(\displaystyle\int (x+1)^{\frac 43}dx-\int (x+1)^{\frac 13}dx=\displaystyle \frac{(x+1)^{\frac 73}}{\frac 73}-\frac{(x+1)^{\frac 43}}{\frac 43}+C\)

Reescribiendo el resultado, queda

\(\boxed{\displaystyle \frac{12(x+1)^{\frac 73}-7(x+1)^{\frac 43}}{28}+C}\)

Ejercicio 12: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int e^{x}\cos xdx\)

En la expresión no aparece una función y su derivada y no es de tipo racional ni puede simplificarse, por lo que la integral se resuelve por partes.

Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=\cos x,\; du=-\sin xdx\) y \(dv= e^{x},\; v=e^{x}\), obteniendo de esta forma

\(\displaystyle\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\cos x+\displaystyle\int e^{x}\sin xdx\)

La integral resultante no es directa así que debe repetirse el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso \(u=\sin x,\; du= \cos xdx\) y \(dv=e^{x},\; v=e^{x}\), quedando

\(e^{x}\cos x+\displaystyle\int e^{x}\sin xdx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx\)

En la expresión anterior aparece la integral inicial, de manera que se trata de una integral cíclica (ver cómo resolver integrales cíclicas), llamando \(I\) a la integral del inicio, queda

\(I=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-I\)

Despejando la \(I\) de la expresión, queda el resultado final

\(\boxed{I=\displaystyle \frac{e^{x}(\cos x+\sin x)}{2}+C}\)

 

Ejercicio 13: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x^2+12x+12}{x^3-4x}dx\)

Como \(x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\), la integral puede dividirse en tres fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así

\(\displaystyle\int\frac{x^2+12x+12}{x^3-4x}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}dx\)

Para hallar los parámetros \(A\), \(B\) y \(C\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:

\(A(x^2-4)+Bx(x+2)+Cx(x-2)=x^2+12x+12\Rightarrow x^2(A+B+C)=x^2\quad x(2B-2C)=12x\quad\hbox{y}\quad -4A=12\)

De forma que resolviendo el sistema se obtiene

\(A=-3\), \(B=4\) y \(C=-2\)

Así que la integral quedaría,

\(\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}dx=\displaystyle \int\frac{-3}{x}+\frac{4}{x-2}-\frac{2}{x+2}dx\)

Teniendo en cuenta que la suma integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene el resultado

\(\displaystyle \int\frac{-3}{x}+\frac{4}{x-2}-\frac{2}{x+2}dx=-\ln x^3+\ln (x+2)^4- \ln (x+2)^2+C\)

Utilizando algunas propiedades de los logaritmos, se obtiene

\(\boxed{\displaystyle\ln \Big(\frac{(x-2)^4(x+2)^2}{x^3}\Big)+C}\)

 

Ejercicio 14: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-2x+2}dx\)

La integral puede escribirse como

\(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-2x+2}dx=\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)^2+1}dx\)

Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle\arctan (x-1)+C}\)

Ejercicio 15: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x\sqrt{8-x}dx\)

En la integral no aparece una función y su derivada, la expresión no es racional y es simplificable, por lo que el procedimiento para resolverla será por partes.

Para resolver una integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=x,\; du=dx\) y \(dv=\sqrt{8-x},\; v=-\dfrac{2(8-x)^{\frac 32}}{3}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, quedaría,

\(\displaystyle\int x\sqrt{8-x}dx=\displaystyle -\frac{2x(8-x)^{\frac 32}}+\int\frac{2(8-x)^{\frac 32}}{3}dx=\displaystyle -\frac{2x(8-x)^{\frac 32}}{3}-\frac{2(8-x)^{\frac 52}}{\frac 52}+C\)

De manera que quedaría

\(\boxed{\displaystyle -\frac{2x(8-x)^{\frac 32}}{3}-\frac{4(8-x)^{\frac 52}}{15}+C}\)

 

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