Ejercicios de Optimización III

 Ejercicio 1: De todos los rectángulos de perímetro \(10\) cm, hallar el que tiene la diagonal menor

Considerando a \(x\) e \(y\) los lados del rectángulo inicial y \(10\) cm el perímetro de dicha figura, se tiene que (ver el perímetro de un rectángulo),

\(2x+2y=10\)

Despejando de esta ecuación uno de los lados, queda

\(y=\frac{10-2x}{2}=5-x\)

Al dividir el rectángulo por su diagonal resultan dos triángulos rectángulos. La hipotenusa de cada uno de estos triángulos es igual a la diagonal pedida en el enunciado. Es decir, aplicando el Teorema de Pitágoras, se obtiene que

\(d(x)=\displaystyle\sqrt{(5-x)^2+x^2}\)

Para minimizar dicha función, se deriva y se iguala a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos)

\(d'(x)=\displaystyle\frac{-2(5-x)+2x}{2\sqrt{(5-x)^2+x^2}}=0\Rightarrow -10+2x+2x=0\Rightarrow x=\frac 52\)

Para ver si dicho punto es un máximo o un mínimo de la función, se observa el signo de la derivada antes y después de dicho punto (ver cómo calcular máximos y mínimos),

si \(x<\frac 52\), \(d'(x)<0\) decrece y si \(x>\frac 52\), \(d'(x)>0\) crece.

De forma que en \(x=\frac 52\) se alcanza un mínimo de la diagonal. Evaluando \(x=\frac 52\) en \(y=5-x\) se obtiene el resultado final:

\(\boxed{x=\frac 52\hbox{cm.}\quad\hbox{y}\quad y=\frac 52\hbox{cm.}}\)

 

 Ejercicio 2: Determinar los puntos de la curva \(\displaystyle y^2=\frac 56 x\) que están a distancia mínima del punto \((1,0)\)

Un punto genérico de la función sería \((x, \pm\sqrt{\frac 56 x})\).

La distancia de este punto al punto pedido \((1,0)\) será (ver cómo hallar la distancia de una función a un punto),

\(d=\sqrt{(x-1)^2+(\pm\sqrt{\frac 56 x}-0)^2}=\sqrt{x^2-\frac 76 x+1}\)

Para calcular los mínimos de esta función \(d(x)\), se calcula la primera derivada y se iguala a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas)

\(d'()=\displaystyle\frac{2x-\frac 76}{2\sqrt{x^2-\frac 76 x+1}}=0\Rightarrow x=\frac{7}{12}\)

Para ver si el punto obtenido es máximo o mínimo se evalúa el signo de la derivada antes y después de \(x=\frac{7}{12}\).

Si \(x<\frac{7}{12}\), \(d'(x)<0\) y si \(x>\frac{7}{12}\), \(d'(x)>0\), luego en \(x=\frac{7}{12}\) hay un mínimo que es lo que se pedía en el enunciado.

Calculando el valor de \(y\), se tiene

\(y=\pm\sqrt{\frac 56 x}=\pm\sqrt{\frac 56 \frac{7}{12}}=\pm\sqrt{\frac{35}{72}}\)

De forma que el resultado es:

\(\boxed{(\frac{7}{12},-\sqrt{\frac{35}{72}})\quad\hbox{y}\quad (\frac{7}{12},\sqrt{\frac{35}{72}})}\)

 Ejercicio 3: Hallar los tres números (no tienen porqué ser enteros) tal que su suma sea \(17\), tal que el primero es el doble del tercero más \(3\) y tal que su producto sea máximo

Del enunciado se obtienen las siguientes dos ecuaciones satisfechas por los tres números buscados, \(x,\;y,\;z\),

\(x+y+z=17,\quad x= 2z+3\)

siendo \(P(x,y,z)=xyz\) la función que se pide maximizar.

Incluyendo el valor de \(x\) que da la segunda ecuación en la primera, se obtiene

\(z+2z+3+y=17\), por lo tanto, \(y=4-3z\)

De forma que la función \(P(x,y,z)\) se puede escribir como

\(P(z)=(2z+3)(4-3z)z=-6z^3-z^2+12z\)

Para calcular el máximo de dicha función, se debe derivar \(P(z)\) e igualar a cero, (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas)

\(P'(z)=-18z^2-2z+12=0\)

Las soluciones de \(P'(z)=0\) son \(z=-0,81\) y \(z=0,76\) (ver cómo resolver polinomios)

Para comprobar si en esos dos puntos se alcanza un máximo o un mínimo de la función, se calcula la segunda derivada y se evalúan en ella los puntos (ver cómo calcular máximos y mínimos);

\(P''(z)=-36z-2\) y \(P''(-0,81)>0\), \(P''(0,76)<0\);

Ya que lo que se pide es un máximo, el punto pedido es \(z=0,76\)

De manera que, sustituyendo el valor de la \(z\) en las ecuaciones del inicio, se hallan el valor de los otros dos números pedidos, siendo el resultado final:

\(\boxed{x=4,52,\quad y=1,72\quad z=0,76}\)

 

 Ejercicio 4: Se ha construido un depósito cilíndrico de \(81\pi m^3\) de volumen. La superficial lateral del cilindro tiene que ser construida con un material que cuesta \(25\) euros al metro cuadrado, y las dos bases de dicho depósito con un material que cuesta \(30\) euros el metro cuadrado:

A. Determinar la relación existente entre el radio \(r\) de las bases del depósito y la altura \(h\) del mismo. Hallar también la función coste, \(C(r)\), del material necesario para construir el depósito.


B. Calcular las dimensiones (radio y altura) que ha de tener el depósito para que el coste de los materiales sea el mínimo. Hallar además el coste del material en este caso.

A. Para calcular la altura, \(h\), se despeja esta variable de la expresión de volumen de un cilindro (ver el volumen de un cilindro),

\(V=\pi r^2 h=81\pi\Rightarrow h=\frac{81}{r^2}\)

EL coste total \(C(r)\) vendrá determinado por la superficie lateral del cilindro multiplicada por el coste de dicho material, así como las dos bases del cilindro (ver las medidas de un cilindro);

\(C(r)=2\pi rh25+2\pi r^2 30\)

Sustituyendo el valor de \(h\) hallado anteriormente, se obtiene

\(\displaystyle C(r)=\frac{4050}{r}\pi+60\pi r^2\)

B. Para que el coste sea mínimo, se calcula la derivada de \(C(r)\) y se iguala a cero (ver cómo calcular máximos y mínimos y la tabla de derivadas),

\(\displaystyle C'(r)=-\frac{4050\pi}{r^2}+120\pi r=0\Rightarrow -4050+120\pi r^3=0\Rightarrow r^3=33,75\Rightarrow r= 3,23 m\)

Sustituyendo este valor en la expresión de \(h\) se obtiene el valor de la altura del depósito cilíndrico,

\(h=7,76 m\)

Para comprobar que es un mínimo, se evalúa el valor de \(r\) en la segunda derivada (ver cómo calcular máximos y mínimos),

\(\displaystyle C''(r)=\frac{4050\pi 2r}{r^4}+120\pi\Rightarrow C''(3,23)>0\)

Por lo tanto, en \(r=3,23\) hay un mínimo

Hallando por último \(C(3,23)\) se llega al resultado final:

\(\boxed{r=3,23 m,\quad h=7,76 m,\quad C(3,23)=1879,84\quad\hbox{euros} }\)

 

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