Ejercicio : (Junio 2014 Opción A) (Calificación:2 ptos)
Calcular justificadamente:
a) \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}\)
b) \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}\)
a) Para estudiar los límites, es importante recordar la teoría de cómo resolver límites
\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\frac 00\)
Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se utilizará la Regla de L’Hôpital para resolver el límite, para ello consultar también la tabla de derivadas,
\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-2-e^x+3\cos (3x)}{2x}=\frac 00\)
Aplicando de nuevo la Regla de L’Hôpital, se tiene el resultado
\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-e^x-9\sin (3x)}{2}=\bbox[yellow]{-\frac 12}\)
b) Sustituyendo directamente el valor en el límite se obtiene
\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}=\frac{\infty}{\infty}\)
Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se desarrollarán los polinomios y se dividirá entre la máxima potencia en el numerador y también en el denominador, ver cómo resolver límites de funciones racionales,
\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{5x^3-30x^2+2x-12}{2x^3-x^2-2x+1}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{5-\frac{30}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{12}{x^3}}{2-\frac 1x-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\bbox[yellow]{\frac 52}\)
Ejercicio : (Junio 2014 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}a+\ln (1-x)&x<0\\\ x^2e^{-x}&x\geq 0\\\end{cases}\)
(donde \(\ln\) denota el logaritmo neperiano) se pide:
a) (1 pto) Calcular \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)\) y \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)\)
b) (1 pto) Calcular el valor de \(a\) para que \(f(x)\) sea continua en todo \(\mathbb{R}\)
c) (1 pto) Estudiar la derivabilidad de \(f\) y calcular \(f’\), donde sea posible
a) Para estudiar los límites, se recomienda recordar la teoría de cómo resolver límites
\(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}\)
Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se utilizará la Regla de L’Hôpital para resolver el límite, para ello consultar también la tabla de derivadas,
\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2x}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}\)
Se aplica de nuevo la Regla de L’Hôpital, obteniendo
\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2}{e^x}=\bbox[yellow]{0}\)
Por otra parte,
\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(a+\ln (1-x))=\bbox[yellow]{\infty}\)
b) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=0\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{x^2}{e^x}=0\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}(a+\ln (1-x))=a\)
Luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\bbox[yellow]{a=0}\)
c) Para que la función sea derivable la función tiene que ser continua (en este caso, como se ha visto en el apartado anterior, \(a=0\)) y además tiene que cumplirse que \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}-\frac{1}{1-x}&x<0\\ xe^{-x}(2-x)&x\geq 0\\\end{cases}\)
Evaluando \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), se tiene que \(-1=0\Rightarrow \hbox{Imposible}\), luego, \(\bbox[yellow]{f(x) \hbox{ no es derivable en }0}\)
Ejercicio : (Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafo, el coste es de catorce euros. Se pide:
a) (1 pto) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costará un rotulador
b) (1 pto) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores
Primeramente se definen las variables del ejercicio
\(x\equiv\) precio de un cuaderno
\(y\equiv\) precio de un rotulador
\(z\equiv\) precio de un bolígrafo
a) Los datos dados en el enunciado se pueden expresar como un sistema de ecuaciones, ver sistemas de ecuaciones y, despejando, expresar dicho sistema en función de la variable \(x\) e \(y\), es decir, en función del precio de un cuaderno y de un rotulador, respectivamente
\(\begin{cases}5x+2y+3z=22&\\\ 2x+y+6z=14&\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=-6+9z&\\\ y=26-24z&\\\end{cases}}\)
b) Sustituyendo las expresiones despejadas en el apartado anterior para el precio de un cuaderno y de un rotulador, se tiene \(8x+3y=8(-6+9z)+3(26-24z)=\bbox[yellow]{30\hbox{ euros}}\)