Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}3x+A&x\leq 3\\ -4+10x-x^2&x>3\\\end{cases}\)
se pide:
a) (1 pto) Hallar el valor de \(A\) para que la función sea continua. ¿Es derivable para ese valor de \(A\)?
b) (1 pto) Hallar los puntos en los que \(f'(x)=0\)
c) (1 pto) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de \(f(x)\) en el intervalo \([4,8]\)
a) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=3\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{+}}(3x+A)=9+A=f(3)\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}(-4+10x-x^2)=-4+10.3-3^2=17\)
Luego, para que la función sea continua en \(3\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(17=9+A\Rightarrow\bbox[yellow]{A=8}\)
Es decir, la función quedaría como
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}3x+8&x\leq 3\\ -4+10x-x^2&x>3\\\end{cases}\)
Para que la función sea derivable tiene que cumplirse que \(f'(3^{-})=f'(3^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}3&x\leq 3\\ 10-2x&x>3\\\end{cases}\)
Evaluando \(f'(3^{-})=f'(3^{+})\), se tiene que \(3=10-2.3\Rightarrow 3=4\Rightarrow\hbox{Imposible}\), luego, \(\bbox[yellow]{f(x) \hbox{ no es derivable en }3}\)
b) Como en el intervalo \(x\leq 3\) el valor de la derivada es \(3\), en ese intervalo nunca podrá ser cero \(f'(x)\), luego sólo hay que mirarlo en el intervalo restante para obtener el resultado
Si \(x>3\), \(10-2x=0\Rightarrow \bbox[yellow]{x=5}\)
c) Para calcular sus máximos y mínimos se iguala la derivada a cero, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función
En el apartado anterior se ha obtenido el punto crítico \(x=5\) que, evaluándolo en la función, se obtiene \(f(5)=21\).
La función es una parábola abierta, ver funciones elementales, por lo que su vértice (y su máximo absoluto) se alcanzará en \((5,21)\) y será \(\bbox[yellow]{21}\)
El mínimo absoluto se alcanzará en alguno de los extremos del intervalo \([4,8]\), evaluando la función en ambos valores, se tiene \(f(4)=20>12=f(8)\)
Luego, el mínimo absoluto se alcanzará en \((8,12)\) y será \(\bbox[yellow]{12}\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(\bbox[yellow]{y=\frac{x}{\pi^2}-\frac{1}{\pi}}\)
Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dada la función \(f(x)=x^2\sin x\), se pide:
a) (1 pto) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación \(f(x)=0\) tiene alguna solución en el intervalo abierto \((\frac{\pi}{2},\pi)\)
b) (1 pto) Calcular la integral de la función en el intervalo \([0,\pi]\)
c) (1 pto) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(y=f(x)\) en el punto \((\pi,f(\pi))\)
a) La función \(f(x)\) es el producto de dos funciones continuas en \(\mathbb{R}\) que son estrictamente positivas en el intervalo que da el ejercicio, de manera que la función \(\bbox[yellow]{\hbox{no se anula en }(\frac{\pi}{2},\pi)}\)
b) La integral se resolverá por partes, recordar cómo resolver una integral por partes, siendo
\(u=x^2\Rightarrow du=2xdx\quad\) y \(\quad dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x\),
De esta forma,
\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x) 2xdx \)
La integral obtenida no es inmediata, de forma que se vuelve a utilizar el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso,
\(u=x\Rightarrow du=dx\quad\) y \(\quad dv=\cos xdx\Rightarrow v=\sin x\)
Por lo tanto,
\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x) 2xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}+2\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin xdx\Big]\)
Consultando ahora la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx==-x^2\cos x+2x\sin x-2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}=(-\pi ^2\cos \pi +2\pi\sin \pi +2\cos \pi)-(-0^2\cos 0+2.0.\sin 0 +2\cos 0)=\bbox[yellow]{\pi ^2 -4}\)
c) La ecuación de la recta tangente en \(x=\pi\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(\pi)=f'(\pi)(x-\pi)\)
Y la ecuación normal será \(y-f(\pi)=\frac{-1}{f'(\pi)}(x-\pi)\)
Primeramente, se calculará el valor de la función en el punto pedido; \(f(\pi)=\pi^2\sin\pi=\pi^2\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x\Rightarrow f'(\pi)=2\pi\sin \pi +\pi^2\cos \pi=2\pi.0+\pi^2(-1)=-\pi^2\)