OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dado el punto \(P(0,1,1)\) y las rectas
\(r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}\frac{z}{-1};\;\;\)\(s\equiv\begin{cases}x=&0\\y=&0\\\end{cases}\)
a) (1,5 ptos) Determinar las coordenadas del punto simétrico de \(P\) respecto a \(r\)
b) (1,5 ptos) Determinar la recta que pasa por el punto \(P\), que tiene dirección perpendicular a la recta \(r\) y corta a \(s\)
a) El simétrico de un punto \(P\) respecto a una recta se calcula como el simétrico del punto respecto a la proyección ortogonal \(M\) de \(P\) sobre \(r\), ver cómo calcular un punto simétrico
La proyección \(M\) se calculará como la intersección de la recta \(r\) con el plano \(\pi\) que será perpendicular a \(r\) y contendrá a \(P\), ver cómo se construye un plano
\(M:\begin{cases}r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}\frac{z}{-1}&\\ \pi:\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=(2,1-1)&\\P(0,1,1)&\\\end{cases}\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}\frac{z}{-1}&\\ \pi:2x+y-z=0\\\end{cases}\Rightarrow M(\frac 23,-\frac 76,\frac 16)\)
Sabiendo las coordenadas de la proyección \(M\), el punto simétrico buscado, \(P’\) se calcula teniendo en cuenta que \(M\) es el punto medio del segmento \(\vec{PP’}\), ver cómo calcular un punto medio
\(M \big(\frac{x_p+x_{p’}}{2},\frac{y_p+y_{p’}}{2},\frac{z_p+z_{p’}}{2}\big)\)
Despejando y con los datos de \(M\) y \(P\), se tiene el resultado \(\bbox[yellow]{P'(\frac 43,-\frac{10}{3},-\frac 23)}\)
b) La recta buscada \(r’\) se calculará encontrando el punto de corte de \(r’\) con \(s\), sabiendo que si \(r’\) es perpendicular a \(r\), el vector \(vec{AP}\) será perpendicular al vector director de \(r\), ver el producto escalar entre dos vectores, \(\vec{AP}.\vec{v_r}=0\)
Si \(A\) es el punto de corte de \(r’\) con \(s\), las coordenadas podrán escribirse de manera genérica como \(A(0,0,\lambda)\), de forma que
\(\vec{AP}=(0,1,1)-(0,0,\lambda)=(0,1,1-\lambda)\) y \(\vec{AP}.\vec{v_r}=(0,1,1-\lambda).(2,1,-1)=0.2+1.1+(1-\lambda)(-1)=0\Rightarrow\lambda=0\Rightarrow\vec{AP}=(0,1,1)\)
Y consultando la teoría de cómo formar una recta con un vector y un punto dado se obtiene el resultado \(r’:\begin{cases}P(0,1,1)&\\ \vec{AP}=(0,1,1)&\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{r’\equiv\begin{cases}x=&0\\y=&1+\lambda\\z=&1+\lambda\\\end{cases}}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dado el sistema de ecuaciones lineales
\(\displaystyle\begin{cases}2x+4y=4k&\\-k^3x+k^2y+kz=0& \\x+ky=k^2&\\\end{cases}\)
se pide:
a) (2 ptos) Discutirlo en función del parámetro \(k\)
b) (0,5 ptos) Resolver el sistema para \(k=1\)
c) (0,5 ptos) Resolver el sistema para \(k=2\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}2 &4&0\\ -k^3&k^2& k\\ 1&k& 0\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}2 &4&0&4k\\ -k^3&k^2& k&k\\ 1&k& 0&k^2\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=4k-2k^2=0\Rightarrow k=0\) y \(k=2\)
– Si \(k\neq 0,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }k\neq 0,2}\)
– Si \(k=0\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}2 &4\\ 1& 0\end{array}=-4\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=0,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(k=2\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}4 &0\\ 4& 2\end{array}\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante nulo y el mismo menor dos por dos encontrado en \(A\) se encuentra en \(A^{*}\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(k=1\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}2x+4y=&4\\-x+y+z=&0 \\x+y=&1\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=4k-2k^2=2\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}4 & 4 & 0 \\0 & 1 & 1\\1 & 1 &0\end{array}=0\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & 4 & 0 \\-1 & 0 & 1\\1 & 1 &0\end{array}=2\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}2 & 4 & 4 \\-1 & 1 & 0\\1 & 1 &1\end{array}=-1\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(0,1,-1)}\)
c) Para \(k=2\) el sistema es compatible indeterminado de rango dos y es
\(\displaystyle\begin{cases}2x+4y=&8\\-8x+4y+2z=&4 \\x+2y=&4\\\end{cases}\)
Tomando \(x=\lambda\), se tiene la solución al sistema, ver la teoría de resolución de sistemas de ecuaciones, \(\bbox[yellow]{(\lambda,2-\frac 12\lambda,5\lambda)}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Dada la función: \(\displaystyle\begin{cases}e^{\frac 1x}&x<0\\ k&x=0\\ \frac{\cos x-1}{\sin x}&x>0\\\end{cases}\)
hallar el valor de \(k\) para que la función sea continua en \(x=0\). Justificar la respuesta
a) La función está formada por un polinomio, una constante y por la función \(\frac{\cos x-1}{\sin x}\), luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre estos dos polinomios, \(x=0\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\cos x-1}{\sin x}=\frac 00\)
De manera que se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite (ver cómo resolver límites), se utiliza la Regla de L’Hôpital (ver la Regla de L’Hôpital y la tabla de derivadas),
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\cos x-1}{\sin x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{-\sin x-0}{\cos x}=\frac{-\sin 0}{\cos 0}=0\)
Calculando el otro límite lateral y el valor de la función en el punto, queda
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}e^{\frac 1x}=e^{\frac{1}{0^{-}}}=e^{-\infty}=0=f(0)=k\)
Luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\bbox[yellow]{k=0}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos)
a) (1 pto) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de \(f(x)=-\sin x\) y el eje \(OX\) entre las abscisas \(x=0\) y \(x=2\pi\)
b) (1 pto) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de \(f(x)=-\sin x\) alrededor del eje \(OX\) entre las abscisas \(x=0\) y \(x=2\pi\)
a) Para hallar el área pedida y teniendo en cuenta la gráfica de la función \(f(x)\), ver funciones elementales, se dividirá la integral en dos (correspondiendo a las regiones simétricas de la gráfica de la función: de \(0\) a \(\pi\) y de \(\pi\) a \(2\pi\)), ver cómo se calcula una integral definida
\(A=\Big|\displaystyle\int_0^{\pi}-\sin xdx\Big|+\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}-\sin xdx=2\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}-\sin xdx=2\cos x\Big]_{\pi}^{2\pi}=2\cos 2\pi-2\cos\pi=\bbox[yellow]{4}\)
b) El volumen de revolución al hacer girar el área bajo la curva \(f(x)\) en el intervalo \([a,b]\) alrededor del eje \(OX\) viene dado por la expresión, ver áreas y volúmenes
\(V=\displaystyle\int_a^{b}\pi(f(x))^2dx=\displaystyle\int_0^{2\pi}\pi(\sin x)^2dx=\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^2 xdx\)
Teniendo en cuenta que \(\sin ^2x=\frac 12(1-\cos 2x)\), ver ecuaciones trigonométricas, se tiene
\(V=\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac 12(1-\cos 2x)dx=\frac{\pi}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})\Big]_0^{2\pi}=\frac{\pi}{2}\Big[(2\pi-\frac{\sin 4\pi}{2})-(0-\frac{\sin 0}{2})\Big]=\bbox[yellow]{\pi^2}\)