\[\]Ejercicio 1: Representar la función \(f(x)=|\ln x|\)
Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función
– La función está definida en \((0,\infty)\), luego el dominio de la función será \((0,\infty)\), ver cómo calcular el dominio de una función
– Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes
\(f(x)=0\Rightarrow x=1\), luego \(f(x)\) pasará por el punto \((1,0)\)
– Para hacer este apartado, consultar asíntotas
. Asíntotas verticales:
\(\lim\limits_{x\to 0}|\ln x|=\infty\), luego en \(x=0\) hay una asíntota vertical
. Asíntotas horizontales: No hay ya que \(\lim\limits_{x\to\infty}|\ln x|=\infty\) (ver asíntotas)
. Asíntotas oblicuas: No hay, ver asíntotas
– Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se estudiarán calculando los máximos y mínimos de la función, ver máximos y mínimos y la tabla de derivadas
Si \(x>0\), \(f'(x)=\frac 1x=0\Rightarrow\hbox{Imposible}\)
Si \(x<0\), \(f'(x)=-\frac 1x=0\Rightarrow\hbox{Imposible}\)
Luego no hay máximos ni mínimos de la función
– Para estudiar la curvatura de la función se hallan los puntos de inflexión de \(f(x)\), ver cómo estudiar la curvatura de una función
Si \(x>0\), \(f»(x)=-\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\hbox{Imposible}\)
Si \(x<0\), \(f'(x)=\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\hbox{Imposible}\)
Luego, tampoco hay puntos de inflexión
Ejercicio 2: Estudiar las asíntotas verticales de la función \(f(x)=\frac{1}{x^2-2x}\)
Las posibles asíntotas verticales de la función serán las soluciones de \(x^2-2x=0\). Es decir, \(x=0\) y \(x=2\), consultar asíntotas y ver cómo resolver límites
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^2-2x}=-\infty\) y \(\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x^2-2x}=\infty\), luego en \(\bbox[yellow]{x=0}\) hay una asíntota vertical
\(\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{1}{x^2-2x}=\infty\) y \(\lim\limits_{x\to 2^{-}}\frac{1}{x^2-2x}=-\infty\), luego en \(\bbox[yellow]{x=2}\) hay una asíntota vertical
\[\] Ejercicio 3: Representar la función \(f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-1}\)
Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función
Se trata de una función racional, ver representación de funciones elementales
– El dominio de dicha función serán todos los números reales excepto los que hacen que el denominador se anule, ver cómo calcular el dominio de una función
\(x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\)
Luego, el dominio serán todos los números reales menos \(\pm 1\)
– Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero y se iguala también \(x\) a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes
\(f(x)=0\Rightarrow x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2,\) y \(f(0)=4\), luego los cortes con los ejes serán \((-2,0)\), \((2,0)\) y \((0,4)\)
– Para estudiar las asíntotas de la función consultar asíntotas y ver cómo resolver límites
. Asíntotas verticales:
\(\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{x^2-4}{x^2-1}=-\infty\) y \(\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{x^2-4}{x^2-1}=\infty\), luego en \(x=1\) hay una asíntota vertical
\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}\frac{x^2-4}{x^2-1}=\infty\) y \(\lim\limits_{x\to -1^{-}}\frac{x^2-4}{x^2-1}=-\infty\), luego en \(x=-1\) hay una asíntota vertical
. Asíntotas horizontales: ver asíntotas
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-4}{x^2-1}=1\)
Por lo que la recta \(y=1\) es una asíntota horizontal
. Asíntotas oblicuas: No hay ya que hay asíntotas horizontales, ver asíntotas
– Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se estudian calculando los máximos y mínimos de \(f(x)\), ver máximos y mínimos y la tabla de derivadas
\(f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2}=\frac{6x}{(x^2-1)^2}=0\Rightarrow x=0\)
Para comprobar si el punto crítico obtenido es máximo o mínimo se estudia el signo de la primera derivada antes y después del punto \(f'(x<0)<0\) y \(f'(x>0)>0\), luego \((0,4)\) es un mínimo
– Para estudiar la curvatura de la función se hallan los puntos de inflexión de \(f(x)\), ver cómo estudiar la curvatura de una función
\(f»(x)=\frac{6(x^2-1)^2-6x-2(x^2-1)2x}{(x^2-1)^4}=\frac{6(1+3x^2)}{(x^2-1)^3}=0\Rightarrow\hbox{Imposible}\)
Luego no hay puntos de inflexión ya que el cambio de concavidad se realiza en puntos en los que la función no está definida: \(x^2-1\) es convexa en \((-\infty,-1)\) y en \((1,\infty)\) y cóncava en \((-1,1)\)
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